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Einführung in die technische Mechanik Statik

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b>Aus der Amazon.de-Redaktion Das Lehrbuch öffnet die Tür zu den Grundgesetzen der Mechanik an Festkörpern. Diese Einführung orientiert sich am Stoff einer einsemestrigen Statik-Vorlesung für Maschinenbauingenieure. Im Übrigen gehört Statik ja auch zur Grundausbildung künftiger Bau- und Elektroingenieure.

In der Statik wird das Gleichgewicht der belasteten Körper betrachtet. Die Festigkeitslehre berücksichtigt die Verformungen und die Materialeigenschaften des Körpers bei der Berechnung der Beanspruchungen, die im Körper auftreten. Sie beantwortet die Frage, ob der Körper hält, bricht oder wegen Deformationen seine Funktion nicht erfüllt. Auf 150 Seiten und mit 116 Abbildungen behandelt Herbert Balke alles, was zum Thema gehört: Kräfte und Momente in der ebenen Statik, ebene und zusammengesetzte ebene Tragwerke, Raumstatik, Reibung und Schwerpunkt.

Studierende profitieren insbesondere von der Kombination aus fachlicher Kompetenz im Bereich Technische Mechanik im Maschinenbau, Mechatronik sowie Elektrotechnik und der langjährigen Vorlesungspraxis des Autors, Professor für Elastizitätstheorie/Bruchmechanik an der TU Dresden. Seinen Rat, Herleitungen und Beispiele immer selbst durchzurechnen und zu zeichnen, sollte der Leser beherzigen. --Carsten Hansen, Literaturtest

หมวดหมู่:
ปี:
2006
ฉบับพิมพ์ครั้งที่:
2. Aufl.
สำนักพิมพ์:
Springer
ภาษา:
german
จำนวนหน้า:
157
ISBN 10:
3540446192
ISBN 13:
9783540446194
ซีรีส์:
Springer-Lehrbuch
ไฟล์:
PDF, 2.28 MB
ดาวน์โหลด (pdf, 2.28 MB)

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Elementary number theory, cryptography and codes

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2008
ภาษา:
english
ไฟล์:
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Springer-Lehrbuch

Herbert Balke

Einführung in die
Technische Mechanik
Statik

2. Auflage
Mit 116 Abbildungen

123

Professor Dr.-Ing. habil. Herbert Balke
Technische Universität Dresden
Institut für Festkörpermechanik
01062 Dresden
Deutschland

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-44619-2 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-44619-4 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN 3-540-23194-3 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York

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dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als
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empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften
oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen.
Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors
Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig
Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg
Gedruckt auf säurefreiem Papier

SPIN: 11835530

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort zur zweiten Auflage
Die anhaltende Nachfrage machte kurzfristig eine zweite Auflage des Buches
erforderlich. Bei dieser Gelegenheit wurden geringfügige Korrekturen vorgenommen.
Dresden, im Sommer 2006

H. Balke

Vorwort zur ersten Auflage
Die Technische Mechanik vermittelt wesentliche Kenntnisse und Methoden,
die der Ingenieur für den Entwurf und die Beurteilung der Funktionsfähigkeit
und Zuverlässigkeit von Konstruktionen benötigt. Sie ist deshalb Bestandteil
der universitären Grundlagenausbildung der Maschinenbau-, Bau-, Mechatronik- und Elektroingenieure sowie weiterer Studiengänge. Wegen ihrer Anforderung, einerseits mittels Abstraktion von den komplexen Konstruktionen zu
einfachen Modellen zu gelangen und andererseits die gewonnenen Modelle einer bis zum konkreten Zahlenergebnis führenden Berechnung zu unterwerfen,
bereitet die Technische Mechanik den Studierenden erfahrungsgemäß Schwierigkeiten. Über die pädagogischen Wege, diese Schwierigkeiten zu minimieren,
existieren unterschiedliche Auffassungen, die letztlich auch die Gliederung des
gesamten Lehrstoffes beeinflussen. Eine allgemein bewährte Herangehensweise, die weitestgehend auf die jeweiligen Etappen der Mathematikausbildung
Rücksicht nimmt, fußt auf der Reihenfolge der Teildisziplinen Statik, Festigkeitslehre, Kinematik und Kinetik, wobei hier die Technische Strömungslehre
als eigene Disziplin angesehen und deshalb ausgelassen wird. Im Fall ausreichender mathematischer Vorkenntnisse sind Kinematik und Kinetik, begrenzt
auf starre Körper, auch im Anschluss an die Statik vermittelbar.
Die Konzeption des vorliegenden Buches Einführung in die Technische Me”
chanik/Statik“, das mit den beiden Bänden zur Kinematik/Kinetik und Festigkeitslehre fortgesetzt werden soll, schließt sich der genannten Lehrmeinung an. In sie fließen die Erfahrungen der traditionellen Lehre zur Technischen Mechanik im Maschinenbau, in der Mechatronik und Elektrotechnik der
Technischen Universität Dresden einschließlich meiner zehnjährigen Vorlesungspraxis an dieser Universität und der Technischen Universität Chemnitz
ein. Wichtige Anregungen entsprangen der länger währenden Beschäftigung
mit der Kontinuums- und Bruchmechanik sowie mit der elektromechanischen
Feldtheorie des deformierbaren Festkörpers. Diese betreffen die unabhängige
Gültigkeit der Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz für beliebige Körper und

Körperteile, eine Forderung, die das Schnittprinzip enthält, sowie die auch
für eine elementare Lehre der Mechanik zweckmäßige Einführung der unabhängigen Lasten Einzelkraft und Einzelmoment. Sie sind seit dem Sommersemester 2000 Bestandteil meiner Grundlagenvorlesungen zur Technischen
Mechanik.
Das Buch ist stark am Stoff der einsemestrigen Statik-Vorlesung für Maschinenbauingenieure orientiert und sehr genau mit den anschließenden Lehrinhalten zur Festigkeitslehre, Kinematik und Kinetik abgestimmt. Durch Konzentration auf das Wesentliche wird eine möglichst gute Übersichtlichkeit
angestrebt. Es werden aber auch manche Sachverhalte etwas ausführlicher
als unter dem Zeitdruck der Vorlesung dargestellt und nahe liegende Ergänzungen einbezogen. Insofern hoffe ich, dass das Buch der Erarbeitung des
Vorlesungsstoffes und dem Selbststudium der Statik dienlich sein kann.
Das Verständnis der Technischen Mechanik entwickelt sich hauptsächlich bei
ihrer praktischen Umsetzung. Deshalb wird dem Leser empfohlen, Herleitungen und Beispiele eigenständig nachzuvollziehen. Darüber hinaus sollten die gewonnenen Kenntnisse durch die Lösung zusätzlicher Aufgaben, die
den zahlreich vorliegenden Aufgabensammlungen entnehmbar sind, überprüft
und soweit vertieft werden, bis eine gewisse Routine in den Berechnungsabläufen erreicht wird.
Meinen verehrten Lehrern, den Herren Professoren H. Göldner, F. Holzweißig, G. Landgraf und A. Weigand, bin ich dafür verpflichtet, dass sie meine
Begeisterung für das Fach Technische Mechanik“ geweckt haben. Besonde”
rer Dank gilt den Herren Dr.-Ing. J. Brummund, Prof. P. Haupt (Universität
Kassel) und Prof. V. Ulbricht, mit denen die in den einführenden Lehrbüchern
zum Teil vorhandenen Widersprüche bei der Darlegung der Grundlagen von
Statik und Kinetik ausdiskutiert werden konnten, Herrn Prof. S. Sähn für den
Hinweis auf die Bedingtheit der Kraftlinienflüchtigkeit beim starren Körper
sowie den Herren Dr.rer.nat. H.-A. Bahr, Dipl.-Ing. C. Häusler, Dr.-Ing. habil.
V. Hellmann, apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi und Dr.rer.nat. H.-J. Weiß
(Fraunhofer-Institut für Werkstoff- und Strahltechnik, Dresden) für zahlreiche nützliche Anmerkungen zu einzelnen Details.
Herzlich gedankt sei auch Herrn Prof. K.-H. Modler für die Bereitstellung
der Zeichenkapazität, Herrn Dipl.-Ing. G. Haasemann für die Hilfe bei der
Textverarbeitung, Frau C. Pellmann für die Computerzeichnung meiner Bildvorlagen und Frau K. Wendt, die mit viel Geduld und Einfühlungsvermögen
das Manuskript in eine druckreife Form gebracht hat.
Dem Springer-Verlag danke ich für die schnelle Herausgabe des Buches.
Dresden, im Sommer 2004

H. Balke

Inhaltsverzeichnis
Einführung ...................................................................
Grundlegende Voraussetzungen
1
1.1
Starrer Körper ....................................................
1.2
Lasten ..............................................................
1.2.1 Einzelkraft.........................................................
1.2.2 Einzelmoment ....................................................
Schnittprinzip .....................................................
1.3
Kartesische Bezugssysteme für Vektoren ....................
1.4

1
7
8
9
11
13
15

2.2.1
2.2.2
2.2.3

Kräfte und Momente in der ebenen Statik
Kräfte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer
Wirkungslinien ....................................................
Ermittlung der resultierenden Kraft ..........................
Gleichgewichtsbedingungen ....................................
Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht
zur Ebene..........................................................
Beliebige Kräfte in der Ebene .................................
Momente senkrecht zur Ebene ................................
Gleichgewichtsbedingungen ....................................

24
24
26
32

3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Ebene Tragwerke
Geometrische Einteilung der Tragwerke .....................
Lagerarten .........................................................
Lasten ..............................................................
Bestimmung der Lagerreaktionen .............................
Streckenlasten ....................................................

37
39
40
42
47

4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik
Definition der Schnittreaktionen ..............................
Berechnung der Schnittreaktionen............................
Beziehungen zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment .........................................................
Beispiele ...........................................................
Schnittreaktionen gekrümmter Balken .......................

60
61
67

5
5.1
5.2
5.3

Zusammengesetzte ebene Tragwerke
Statische Bestimmtheit .........................................
Berechnung zusammengesetzter Tragwerke ................
Fachwerke .........................................................

71
74
78

2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.2

19
19
22

55
56

6.2
6.3

Raumstatik
Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien .................................................................
Beliebige Kräfte und Momente im Raum ...................
Gleichgewichtsbedingungen ....................................

85
87
89

7
7.1
7.2
7.3

Räumliche Tragwerke
Lagerarten .........................................................
Schnittreaktionen des Balkens.................................
Beispiele ...........................................................

93
94
94

8
8.1
8.2
8.3

Reibung
Grundlagen ........................................................ 101
Beispiele ........................................................... 104
Seilreibung ........................................................ 109

9
9.1
9.2
9.3

Schwerpunkt
Körperschwerpunkt .............................................. 118
Flächenschwerpunkt ............................................. 121
Linienschwerpunkt ............................................... 128

10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6

Flächenmomente zweiter Ordnung
Definition der Flächenmomente zweiter Ordnung .........
Berechnung der Flächenmomente zweiter Ordnung .......
Transformation bei parallelen Bezugsachsen................
Zusammensetzung einfacher Flächen ........................
Hauptträgheitsmomente ........................................
Polares Flächenträgheitsmoment..............................

6
6.1

133
134
138
142
145
150

Einführung
Seit dem Altertum beschäftigen sich Menschen mit Mechanik, um das Gleichgewicht und die Bewegung der Körper unter der Wirkung von Lasten zu
verstehen. So muss die Kraft in einem Seil, das zum Heben eines Gewichts
dient, bekannt sein, damit ein genügend festes Seil zur Verfügung gestellt
wird. Für die Funktion eines Fahrzeuges ist unter Berücksichtigung seiner
Massenverteilung nicht nur sein Verhalten bei Ortsänderungen sondern auch
bei Orientierungsänderungen wichtig. Die betrachteten Körper sind im Allgemeinen verformbar. Diese Eigenschaft wird als Bestandteil einer allgemeinen
Bewegung angesehen. Offensichtliche Beispiele hierfür findet man bei der Federung der Fahrzeuge, aber auch bei der zu begrenzenden Durchbiegung einer
Brücke oder der Schwankung eines Antennenmastes unter Windeinwirkung.
Die Anwendung der gewonnenen Kenntnisse erstreckt sich von der primitiven
Handarbeit über Planetenbahnberechnungen einschließlich Navigation bis zu
Konstruktionen des Hochtechnologiesektors und dringt zunehmend in weitere
Bereiche wie z.B. Materialwissenschaft, Mikroelektronik oder Medizin ein.
Ihrem Wesen nach gehört die Mechanik ähnlich wie die Mathematik zu den
streng logischen Wissenschaften. Die von ihr benutzten bzw. eingeführten
Begriffe wie Körper, Ort, Orientierung, Zeit, Masse, Kraft, Moment, Arbeit
und Energie bilden die in der Realität existierenden komplexen Sachverhalte auf übersichtliche, logische und damit einer rechnerischen Behandlung
zugängliche Modelle ab. Als Grundlage dieser Modelle dienen einige wenige Prinzipien, die seit Jahrhunderten begleitend zu den sich anhäufenden
Erfahrungen bei der Lösung praktischer Aufgaben mit zunehmendem Allgemeingültigkeitsgrad durch Abstraktion gewonnen wurden. Dabei galt die
Mechanik lange Zeit hauptsächlich als Bestandteil der Physik. Mit der Zunahme ihrer Bedeutung für die Technik entstand, zugeschnitten auf die neuen
Herausforderungen, die Technische Mechanik, die jetzt zu den ingenieurwissenschaftlichen Grundlagen zu zählen ist. Die Technische Mechanik nahm eine eigenständige Entwicklung, die sich sowohl in der Herkunft neuer Beiträge
als auch schließlich in der Lehrbuchliteratur widerspiegelte und deren wahre
Inhalte sich immer an den konkreten Problemen orientierte. Diese Entwicklung wird begleitet vom stürmischen Fortschritt in der elektronischen Rechentechnik, die die effiziente mathematische Behandlung immer komplizierterer
mechanischer Modelle erlaubt. Die Modelle, die die technische Realität gegenwärtig und in absehbarer Zukunft am besten beschreiben, bestehen aus
Körpern, deren Eigenschaften als kontinuierlich über das Körpervolumen verteilt angenommen werden. Diese Kontinuumsmechanik führt sehr häufig zu
Differentialgleichungen mit Rand- und Anfangsbedingungen, welche mittels
spezieller Diskretisierungen (z.B. Methode der finiten Elemente) in Com-

2

Einführung

puterprogrammen umgesetzt und damit gelöst werden. Solche Computerprogramme, die den Zugriff zu einer riesigen Vielfalt von realitätsnahen Modellen
gestatten, sind seit über zwanzig Jahren Stand der Technik und kommerziell verfügbar. Die Nutzung dieser Programme und ihrer ständig weiterentwickelten Versionen gehört zu den unverzichtbaren Aufgaben des Ingenieurs.
Sie sollte aber in jedem Falle auf dem Verständnis der zugrunde liegenden
Annahmen und Gleichungen beruhen, von Überschlagsrechnungen, die sich
aus vereinfachten Modellen ergeben, begleitet und durch Testrechnungen zum
Vergleich mit bekannten, analytisch gelösten Spezialfällen ergänzt werden.
Aus den obigen Darlegungen ergeben sich zwei wichtige Folgerungen für die
Technische Mechanik als ingenieurwissenschaftliches Grundlagenfach. So sollten einerseits alle einzuführenden Begriffe, zu treffenden Annahmen und zu
behauptenden Sätze im Einklang mit den konkreten zu lösenden Problemen
stehen und widerspruchsfreie Verallgemeinerungen in der modernen Kontinuumsmechanik erlauben. Andererseits ist eine hierarchische Struktur der
Inhalte des Faches, die möglichst in jeder komplexen Situation den Rückgriff
auf einfache Methoden gestattet, nicht nur für die Lehre sondern auch für die
praktische Handhabung der Technischen Mechanik wünschenswert.
Im Folgenden geht es um die Technische Mechanik von Festkörpern, abkürzend Körper genannt. Die Körper ersetzen bei der idealisierenden Modellierung die realen Bauteile. In der Statik wird das Gleichgewicht, d.h. die
Beibehaltung der Ruhe der belasteten Körper betrachtet. Die Deformationen
der belasteten Körper sind häufig klein gegenüber ihren Abmessungen und
können bei der Untersuchung des Gleichgewichts oft vernachlässigt werden,
was zum Begriff des starren Körpers führt. Die Festigkeitslehre berücksichtigt
die Verformungen und die Materialeigenschaften des Körpers bei der Berechnung der Beanspruchungen, die im Körper auftreten. Sie beantwortet die
Frage, ob der Körper hält oder bricht bzw. wegen unzulässiger Deformationen seine Funktion nicht erfüllt. In der Kinematik werden die geometrischen
Einzelheiten der Bewegung von Körpern im Zeitablauf ohne Bezug zu irgendwelchen Lasten studiert. Der Zusammenhang zwischen den Bewegungen von
Körpern und den Lasten als Ursache dafür ist Gegenstand der Kinetik.
Der Inhalt des vorliegenden Buches zur Statik ist wesentlich geprägt durch
die beiden Erfahrungssätze über die gemeinsam zu erfüllenden, voneinander unabhängigen Bilanzen der Kräfte und Momente im Falle des Gleichgewichts des Körpers sowie beliebiger Teile desselben. In diesem Zusammenhang wird dem Moment eine gleichberechtigte Stellung gegenüber der Kraft
eingeräumt, wenn auch in die für allgemeine Gleichgewichtsbetrachtungen
benötigte Momentendefinition die Kraft selbst neben einer Länge eingeht.
Die NEWTONschen Axiome, in denen die Kräftebilanz, aber nicht die Momentenbilanz vorkommen, werden nicht als ausreichende Grundlage für die

3

Statik angesehen. Dieser in der Statik allgemein akzeptierte Standpunkt - das
Hebelgesetz als Teilaussage der Momentenbilanz wurde schon von ARCHIMEDES (287-212 v.Chr.), also lange vor NEWTON (1643-1727), angegeben muss selbstverständlich in einer sich anschließenden Kinetik, die die Statik als
Sonderfall enthält, berücksichtigt werden, damit die Technische Mechanik der
zwingenden Forderung genügt, widerspruchsfrei zu sein. Mit anderen Worten,
die Technische Mechanik, die in der Statik auf den beiden unabhängigen Vektorbilanzen der Kräfte und Momente beruht, kann sich in der Kinetik nicht
allein auf die eine Vektorgleichung des sogenannten dynamischen Grundgesetzes der NEWTONschen Axiomatik stützen.
Die Anwendung der genannten Erfahrungssätze auf spezielle Anordnungen
belasteter starrer Körper erlaubt die Berechnung von Lager- und Schnittreaktionen, wobei zunächst Probleme der ebenen Statik ausführlicher betrachtet
werden, was erfahrungsgemäß das Verständnis der räumlichen Statik erleichtert. Reibungsprobleme lassen sich mit einordnen. Die zur Statik gehörenden
Aufgaben der Schwerpunktbestimmung werden hier ergänzt um die Bereitstellung der später in der Balkentheorie benötigten Flächenmomente zweiter
Ordnung, was im Studienablauf eine günstige Übungsgestaltung ermöglicht.
Die für die Statik erforderlichen Voraussetzungen umfassen Kenntnisse der
Geometrie, Trigonometrie, Vektorrechnung, inhomogene lineare Gleichungssysteme, gewöhnliche Ableitungen und bestimmte Integrale. Der Begriff der
Funktion von mehreren Variablen wird angedeutet. Volumenintegrale werden mit Bezug auf endliche Summen erwähnt, Flächenintegrale am Beispiel
erklärt und in den Anwendungen auf bekannte Ergebnisse zurückgeführt.

Kapitel 1
Grundlegende Voraussetzungen

1

1

1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.3
1.4

Grundlegende Voraussetzungen
Starrer Körper ....................................................
Lasten ..............................................................
Einzelkraft.........................................................
Einzelmoment ....................................................
Schnittprinzip .....................................................
Kartesische Bezugssysteme für Vektoren ....................

7
8
9
11
13
15

1 Grundlegende Voraussetzungen
Die realen Objekte, welche Untersuchungsgegenstand der Statik sind, müssen
auf das Wesentliche reduziert, d.h. idealisiert werden. Dies führt zu einem einfachen Begriffssystem, das durch Verknüpfung mit der Erfahrung die Formulierung der beiden unabhängigen Basisaussagen der Statik über das Gleichgewicht belasteter Körper und beliebiger Teile von ihm erlaubt, nämlich die
Kräftebilanz und die Momentenbilanz.

1.1 Starrer Körper
Eine für die Statik wichtige Eigenschaft der technischen Objekte (Konstruktionen, Tragwerke, Bauelemente u.ä.) ist die geometrische Gestalt, d.h. die
Gesamtheit der Abmessungen. In der Realität verformen sich die Objekte unter den einwirkenden Lasten. In vielen technisch relevanten Fällen können die
dabei auftretenden Abmessungsänderungen im Vergleich zu den Abmessungen vernachlässigt werden. Dies führt zum Begriff des starren Körpers, der dadurch gekennzeichnet ist, dass alle Abstände zweier beliebiger Körperpunkte
ungeändert bleiben. Für alle in dem Buch Statik“ behandelten Probleme
”
wird von dieser Vereinfachung Gebrauch gemacht und der starre Körper, bis
auf hervorzuhebende Sonderfälle, abkürzend als Körper bezeichnet.
Für die weiteren Überlegungen ist es erforderlich, die Lage des starren Körpers anzugeben. Dies geschieht relativ zu drei nicht in einer Ebene liegenden, starren Laborwänden, welche auf der Erdoberfläche fixiert sind. Die
Bewegung der Erdoberfläche wird dabei zunächst vernachlässigt. Für einen
genaueren Lagebezug ist erfahrungsgemäß der Fixsternhimmel anstelle der
Erdoberfläche zu benutzen. Wenn die Wände eben sind, senkrecht aufeinander stehen und die Abstände der Körperpunkte zu diesen Wänden im
gleichen Maßstab gemessen werden, gewinnen wir ein kartesisches Koordinatensystem, das wegen der beschriebenen Bindung als raumfest bezeichnet
wird und künftig verwendet werden soll. Ein solches Koordinatensystem mit
den Achsen x, y, z ist im Bild 1.1 angegeben.
In diesem System befindet sich ein starrer Körper, der durch das starre orthogonale Dreibein OABC repräsentiert wird. Ort und Orientierung dieses
Dreibeins können folgendermaßen festgelegt werden (Bild 1.1 a). Die drei
Koordinaten xO , yO , zO fixieren den Punkt O, verhindern also mögliche
Verschiebungen dieses Punktes. Winkeländerungen um die zu x, y, z parallelen Achsen OA, OB, OC werden jeweils durch die Koordinaten zB , xC ,
yA blockiert. Die Lagebestimmung erfordert also insgesamt sechs Informationen. Wenn diese Bindungen aufgegeben werden, besitzt der Körper sechs

1.1

8

1. Grundlegende Voraussetzungen
y

y

B

zB

O
xC

C yO
xO

z

a)

zO

B
A
yA

O
C yO

xC
yC

x

zO

xO
z

A
yA
x

b)

Bild 1.1. Festlegung des starren Körpers im kartesischen Koordinatensystem

unabhängige Bewegungsmöglichkeiten, nämlich drei Verschiebungen und drei
Winkeländerungen. Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten
wird auch als Freiheitsgrad f bezeichnet. Es gilt also für den ungebundenen
starren Körper genau f = 6.
Bild 1.1b zeigt eine andere mögliche Bindungsrealisierung mit derselben, dem
Freiheitsgrad f = 6 entsprechenden Zahl von Bindungen, wobei zB durch yC
ersetzt wurde.
Beide Fälle von Bild 1 enthalten außer den drei Angaben über den Ort des
Körperpunktes O drei Festlegungen über körperfeste Richtungen. Eine solche Richtung ist eine Eigenschaft der jeweiligen Geraden, welche durch zwei
Körperpunkte gelegt wurde, und stellt neben dem Terminus Punkt“ einen
”
weiteren benötigten Begriff dar.
Der gebundene Körper befindet sich in Ruhe. Bleibt der Körper nach Lösen
der Bindungen in Ruhe, d.h. erleidet er trotz möglicher Belastungen keine
Translation und Rotation, so befindet er sich im Gleichgewicht. Die statischen
Bedingungen für diese kinematisch definierte Situation werden im Folgenden
schrittweise formuliert.

1.2

1.2 Lasten
Auf die Körper können Lasten (auch Belastungen genannt) zweier unterschiedlicher Typen einwirken, die durch einfache Anschauungsbeispiele erläutert werden sollen. Ihr voller Bedeutungsumfang geht jedoch weit über
diese Beispiele hinaus. Er bleibt im Allgemeinen offen, so dass die Lasten in
jeder konkreten Situation neu spezifiert werden müssen.

1.2

Lasten

9

1.2.1 Einzelkraft

Die auf die fixierte Wand W im Bild 1.2 (die Fixierung ist durch eine Schraffur
angedeutet) ausgeübte Kraft wird vom Kraftausübenden über das Gefühl in
seiner Hand wahrgenommen.

W

O

H

Bild 1.2. Empfindung einer Kraft

Die Hand gibt dieser Kraft eine Richtung und einen Richtungssinn entsprechend der empfundenen Anspannung (in Bild 1.2 durch einen Pfeil angedeutet). Die summarische Wirkung der Kraft wird dann durch einen Zahlenwert
beschrieben. Es ist denkbar, dieselbe Kraftwirkung auf die Wand unter Benutzung der Öse O zu realisieren, was zur Entlastung des Hakens H führt.
Für die aus Öse und Haken bestehende Konstruktion, die als ein Körper
modelliert wird, ist also der Ort für den Kraftangriff wichtig. Die einfachste
Idealisierung nimmt die geometrische Gestalt dieses Ortes als punktförmig
an. Die Zusammenfassung aller genannten Bestimmungsstücke führt zur folgenden naheliegenden Definition des Begriffes der Einzelkraft:
Die Einzelkraft ist ein Vektor, der einen Angriffspunkt besitzt.
K

K

F

WL

a)

WL

P

F

P

b)
Bild 1.3. Angriff einer Einzelkraft

Im Bild 1.3a ist dieser Sachverhalt nochmals dargestellt. Der Angriffspunkt
P des Einzelkraftvektors F (Vektoren werden künftig durch fette Buchstaben bezeichnet) befindet sich am Körper K, der mit der Umgebung, d.h. mit
dem kartesischen Koordinatensystem, starr verbunden ist. Zusätzlich wurde die Linie angegeben, auf der der Einzelkraftvektor liegt, die sogenannte
Wirkungslinie WL (strichpunktiert), deren Bedeutung später erklärt wird.
Mitunter ist es aus zeichentechnischen Gründen sinnvoll, bei gleicher Lage
des Kraftangriffspunktes den Vektorpfeil in einer anderen Position auf der
Wirkungslinie, z.B. mit der Pfeilspitze im Kraftangriffspunkt, einzutragen
(Bild 1.3b).

10

1. Grundlegende Voraussetzungen

Die noch zu besprechende wesentliche Vektoreigenschaft der Einzelkraft,
nämlich die Gültigkeit des Vektorparallelogrammes, ist durch die Erfahrung, d.h. durch experimentelle Nachweise, gegeben. Eine Einzelkraft kann
eindeutig nach zwei gegebenen Richtungen durch den Angriffspunkt P der
Einzelkraft zerlegt, und zwei gegebene Einzelkräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt P können zu einer Einzelkraft zusammengefasst werden (wechselseitige statische Äquivalenz, s. Bild 1.4a). Zur Verkürzung der Darstellung und Hervorhebung des gemeinsamen Angriffspunktes P ist es üblich,
die beiden Parallelogramme übereinander zu zeichnen. Damit die alternativ
zu berücksichtigenden äquivalenten Kräfte F oder F1 , F2 nicht irrtümlich als
gemeinsam wirkend aufgefasst werden, sind sie durch unterschiedliche Stricharten dargestellt (Bild 1.4b).
F

F2

=
P
F

F2

P
b)
Bild 1.4.

a)

F1

F1

P
F1

F2

F

F

c)

F2

F1

Für Einzelkräfte gültiges Vektorparallelogramm a) und verkürzte Darstellungen

b) bzw. c)

Für die grafische Realisierung der vektoriellen Zerlegung bzw. Zusammensetzung reicht das sogenannte Krafteck aus (Bild 1.4c). Analytisch gehorcht
dieser Sachverhalt den Regeln der Vektorrechnung
F = F1 + F2 .

(1.1)

In (1.1) wird nochmals die Beliebigkeit der Reihenfolge der Vektoraddition
deutlich. Die Einzelkräfte F1 , F2 dürfen selbst durch Zusammensetzung aus
Einzelkräften entstanden sein. Diese wiederholte Vektoraddition gemäß (1.1)
ist nicht auf Einzelkräfte beschränkt, die alle in derselben Ebene liegen. Umgekehrt enthält die Vektoreigenschaft den Fakt, dass eine Einzelkraft eindeutig nach drei gegebenen, nicht in einer Ebene liegenden Richtungen durch
den Angriffspunkt der Einzelkraft zerlegt werden kann.
Für das Studium des Gleichgewichts am gesamten starren Körper folgt aus
der Erfahrung, dass die Einzelkraft ohne Änderung ihrer Wirkung auf das
Gleichgewicht längs ihrer Wirkungslinie (Bild 1.3) verschoben werden kann,

1.2

Lasten

11

d.h. dass ihr Angriffspunkt auf der Wirkungslinie beliebig positionierbar ist.
Alle dadurch entstehenden Anordnungen sind deshalb statisch äquivalent.
Besteht kein Anlass zu Verwechslungen, wird künftig die Einzelkraft abkürzend als Kraft bezeichnet.
Zur Quantifizierung physikalischer Größen reichen Empfindungen nicht aus.
Diese Größen sind vermittels ihrer Wirkungen zu messen. Als Messeinrichtung für die Kraft kann z.B. eine Federwaage dienen. Eine statische elastische
Verlängerung der Feder dieser Waage entspricht dann einer gewissen Kraft.
Die Elastizität der Feder als Bestandteil der Messeinrichtung für die Statik
starrer Körper wird dabei als gegeben hingenommen wie die Elastizität des
Antriebs einer Uhr für die Zeitmessung in der Kinetik starrer Körper. Mit
Festlegung von Normbedingungen für den statischen Messvorgang wäre auch
eine Maßeinheit für die Kraft gewinnbar. Die Maßeinheit der Kraft wird jedoch aus Zweckmäßigkeitsgründen über eine andere physikalische Wirkung,
nämlich ihr Vermögen, einen massebehafteten Körper translatorisch zu beschleunigen, abgeleitet. Dieser Sachverhalt liegt außerhalb der Statik. Hier
muss auf das spätere Studium der Kinetik verwiesen werden.
Mit den Grundgrößen Länge, Zeit und Masse sowie ihren Einheiten Meter
(m), Sekunde (s) und Kilogramm (kg) ergibt sich als Einheit [F ] des Betrages
F = |F| der Kraft F das Newton (N ) zu
[F ] = 1N = 1kg · m/s2 .
Unter Verwendung von drei Federwaagen kann die oben postulierte Gültigkeit
des Kräfteparallelogramms experimentell bestätigt werden.
1.2.2 Einzelmoment

Bei der Anwendung eines Schraubendrehers auf die fixierte Konstruktion im
Bild 1.5 wird über die Hand ein qualitativ anderes Gefühl wahrgenommen
als in der Situation von Bild 1.2.
B-B

1

B

A

2

B

S
Bild 1.5. Empfindung eines Momentes

12

1. Grundlegende Voraussetzungen

Die Hand übt mittels des Schraubendrehers ein Moment auf die abgebildete Konstruktion aus. Dieses Moment besitzt eine Richtung (nicht notwendig
senkrecht zu dem Ausleger A) und einen Dreh- oder Winkelorientierungssinn, den die Hand spürt, auch wenn sie in Wirklichkeit eine Drehung des
Schraubendrehers nicht ausführt. Unter Beachtung dieser beiden Merkmale
wird die summarische Wirkung dann durch einen Zahlenwert beschrieben.
Die Wirkung des vom Schraubendreher über den Ausleger A in den Ständer
S eingeleiteten Momentes ist dieselbe bei paralleler Anordnung des Schraubendrehers im Schlitz 2 anstelle des Schlitzes 1. Dann wird aber der Schlitz 1
entlastet. Für die als Körper idealisierte Konstruktion des Auslegers ist also
der Ort der Momenteneinleitung bedeutsam. Wie bei der Einzelkraft wird
dieser Ort als Punkt idealisiert und damit die Definition eines Einzelmomentes ermöglicht:
Das Einzelmoment ist ein Vektor, der einen Angriffspunkt besitzt und dem
ein Drehsinn zugeordnet ist. Der Drehsinn erzeugt vermittels einer Rechtsschraube den Richtungssinn des Einzelmomentenvektors.
Vektoren, die der genannten Zusatzforderung genügen, heißen axiale Vektoren und werden durch Pfeile mit doppelter Spitze abgebildet. Dies ist im Bild
1.6 zu sehen, wo der Einzelmomentenvektor M im Punkt P des Körpers K
angreift und der gekrümmte Pfeil den Drehsinn angibt. Ähnlich wie bei der
Kraft wird manchmal aus zeichnerischen Gründen für identische Lage des
Einzelmomentangriffspunktes die Pfeilspitze des Vektors mit gleicher Orientierung in den Angriffspunkt gelegt.
K
M

P

Bild 1.6. Angriff eines Einzelmomentes

Alles, was über die Gültigkeit des Vektorparallelogrammes bei Einzelkräften
gesagt wurde, trifft auch für Einzelmomente zu.
Für das Studium des Gleichgewichts am gesamten starren Körper folgt weiter
aus der Erfahrung, dass das Einzelmoment ohne Änderung seiner Wirkung
auf das Gleichgewicht beliebig längs und parallel verschoben werden kann,
sein Angriffspunkt also willkürlich positionierbar ist. Alle dadurch entstehenden Anordnungen sind deshalb statisch äquivalent, und die Angabe einer
Wirkungslinie erübrigt sich.

1.3

Schnittprinzip

13

Zur quantitativen Bestimmung eines Einzelmomentes kann z.B. eine Drehfederwaage benutzt werden. Das Einzelmoment bewirkt eine statische Verdrehung der Torsionsfeder um einen gewissen Winkel, aus dem auf seine
Größe und seinen Richtungssinn gemäß Rechtsschraube rückgeschlossen werden kann. Dieser Messvorgang wäre bei Ausführung unter Normbedingungen
zur Definition einer Maßeinheit des Einzelmomentes geeignet. Üblicherweise
wird jedoch die Kenntnis von Kraft und Abstand einschließlich der Eigenschaften dieser Größen vorausgesetzt. Dann lässt sich das Einzelmoment, wie
in der Statik später gezeigt, mit dem Produkt aus dem Abstand zweier paralleler, entgegengesetzt gleich großer Kräfte und dem Betrag einer der beiden
Kräfte vergleichen. Damit besitzt das Einzelmoment die Dimension Kraft mal
Länge und deshalb die Maßeinheit
[M ] = 1N m = 1kg · m2 /s2 .
Im Gegensatz zur Verkürzung der Sprechweise beim Kraftbegriff wird der
Term Einzelmoment“ wegen der Unterscheidung vom später einzuführenden
”
Moment einer Kraft beibehalten.

1.3 Schnittprinzip
Die zu betrachtenden Körper sind gewöhnlich an ihrer Oberfläche mit der
fixierten Umgebung verbunden. Sollen die Körper unter der Einwirkung von
gegebenen Lasten (auch als eingeprägte Lasten bezeichnet) in Ruhe, d.h. im
Gleichgewicht bleiben, so müssen die Bindungen ergänzend genau die Lasten
auf den Körper ausüben, so dass das Gleichgewicht bestehen bleibt. Diese
Fähigkeit hängt von der konstruktiven Gestaltung der Bindungen ab, die
später besprochen werden soll. Für die Überprüfung des Gleichgewichts sind
also die Bindungen zu lösen (zu schneiden) und durch die Lagerreaktionen
(auch als Auflagerreaktionen bezeichnet) zu ersetzen, mit denen die Bindungen fähig sind, an der Schnittstelle auf den Körper zu wirken. Dabei dürfen
in überschaubaren Situationen Reaktionen, die die Lager zwar übertragen
könnten, die aber wegen der Bilanz mit nicht vorhandenen eingeprägten Lasten offensichtlich verschwinden, von vornherein weggelassen werden. Man
spricht auch von der Befreiung des Körpers von den Bindungen an seine fixierte Umgebung bzw. vom Freischneiden des Körpers. Diese Betrachtung
wird gleichermaßen auf den gesamten Körper oder Teile davon angewendet.
Erfahrungsgemäß treten dabei die Lagerreaktionen und die an Körperteilen
entstehenden Schnittreaktionen (auch Schnittlasten) immer paarweise mit
entgegengesetzt gleich großen Partnern auf, ein Fakt der später als Bestand-

1.3

14

1. Grundlegende Voraussetzungen

teil der beiden grundlegenden Gleichgewichtsaussagen bewiesen werden kann.
Zur Erläuterung dienen die Beispiele von Bild 1.2 und 1.5.
In Bild 1.7 wurde das Haken-Öse-System durch eine geschlossene räumliche
Schnittfläche, die in der Zeichenebene als eine geschlossene Schnittkontur zu
sehen ist und abkürzend als geschlossener Schnitt bezeichnet wird, von der
Wandverbindung getrennt. Der Austausch der kraftausübenden Hand durch
die Kraft selbst ist dabei nebensächlich (künftig werden die Vektoren in den
Bildern häufig durch den Vektorpfeil und ihre Größe, die auch negativ sein
kann, angegeben). Die Schnittstelle wurde hier nur durch eine Kraft FL auf
der Wirkungslinie der eingeprägten Kraft F und durch den entgegengesetzt
gleich großen Partner ersetzt.

FL

FL

F

W
Bild 1.7. Geschlossener Schnitt zur Befreiung des Haken-Öse-Systems von der Wand W

Bild 1.8 zeigt die analoge Situation für die Anordnung aus Bild 1.5, wo an
der Schnittstelle wegen der alleinigen eingeprägten Last M nur das Schnittmoment Mt eingetragen wurde.

Mt

Mt

M

A

Bild 1.8. Geschlossener Schnitt zur Befreiung des Schraubendrehers vom Schlitz des Ausle-

gers A

Das Schnittprinzip gilt auch für zwei (oder mehrere) Körper, die über eine
gewisse Entfernung hinweg statisch wechselwirken. Beispiele für eine solche
Fernwirkung sind die Gravitation und der Elektromagnetismus. So ziehen sich
massebehaftete Körper nach dem NEWTONschen Gravitationsgesetz an. Die
Wechselwirkungskraft zwischen elektrisch geladenen Körpern besteht gemäß
dem Gesetz von COULOMB (1736-1806) bei gleichem Vorzeichen der Ladungen in einer Abstoßung der Körper, bei entgegengesetztem Vorzeichen in
einer Anziehung. Zwei kreuzweise übereinander liegende Stabmagnete üben
außer einer Kraft ein Moment aufeinander aus. Wir berücksichtigen gegebenenfalls nur die Schwerkraft als Folge der Erdanziehung, wobei der Erdkörper
außerhalb der bildlichen Darstellung bleibt.

1.4

Kartesische Bezugssysteme für Vektoren

15

In allen genannten Fällen beinhaltet das Schnittprinzip die Definition der
Körperoberfläche und die Feststellung der durch die Körperoberfläche hindurchtretenden statischen Wechselwirkungen der Umgebung auf den Körper.
Diese Betrachtungsweise wird im allgemeineren Sachverhalten auch auf nichtmechanische Wechselwirkungen angewendet.
Nach den obigen Ausführungen ist jetzt schon die Erfahrungstatsache zu
vermerken, dass der befreite Körper im Gleichgewicht bleibt, wenn die auf
den Körper gemeinsam wirkenden Lasten der Art nach Bild 1.2 bzw. 1.5
sich beide mit den von ihnen geweckten Lagerreaktionen gemäß Bild 1.7
bzw. 1.8 ausbilanzieren. Dieser grundlegende Sachverhalt, der im Folgenden
ausführlicher besprochen wird, bildet den wesentlichen Inhalt der Statik.

1.4

1.4 Kartesische Bezugssysteme für Vektoren
Für die analytische Zerlegung und Zusammensetzung der Vektoren ist die
Benutzung einer so genannten Vektorbasis zweckmäßig. Diese entsteht aus
orthogonalen Einheitsvektoren, die parallel zu dem schon in Bild 1.1 benutzten kartesischen Koordinatensystem angeordnet werden. Die Gemeinsamkeit
von Koordinatensystem und Vektorbasis soll Bezugssystem (wie in Abschnitt
1.1 raumfest) heißen. Bild 1.9 gibt den ebenen Sonderfall mit den Basisvektoren ex , ey , angewendet auf das Vektorbeispiel Kraft, wieder.
y
Fy

ey

F
®

ex

Fx

x

Bild 1.9. Ebene Komponentenzerlegung der Kraft

In Bild 1.9 lesen wir die Komponentendarstellung der Kraft F ab.
F = Fx + Fy = Fx ex + Fy ey ,

(1.2)

Fx = F cos α ,

(1.3)

Fy = F sin α .

Die Summanden in (1.2) sind die Komponenten (d.h. auch Vektoren) von
F, während Fx , Fy die Maßzahlen oder Vektorkoordinaten von F bezeichnen (mitunter werden in der Literatur die Vektorkoordinaten Komponenten
genannt). Weiter erhält man

Fy
.
(1.4)
F = |F| = Fx2 + Fy2 , tan α =
Fx

16

1. Grundlegende Voraussetzungen

Obige Formeln gelten auch, wenn der Angriffspunkt von F nicht mit dem Ursprung des kartesischen Bezugssystems zusammenfällt. Darüber hinaus werden sie analog auf Einzelmomentvektoren angewendet.
Die naheliegende Erweiterung der Vorgehensweise auf den Raum mittels der
rechtshändigen Basis ex , ey , ez wird in Kapitel 6 vorgeführt.

Kapitel 2
Kräfte und Momente in der ebenen Statik

2

2
2.1

2

2.1.1
2.1.2
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3

Kräfte und Momente in der ebenen Statik
Kräfte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer
Wirkungslinien ....................................................
Ermittlung der resultierenden Kraft ..........................
Gleichgewichtsbedingungen ....................................
Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht
zur Ebene..........................................................
Beliebige Kräfte in der Ebene .................................
Momente senkrecht zur Ebene ................................
Gleichgewichtsbedingungen ....................................

19
19
22
24
24
26
32

2 Kräfte und Momente in der ebenen
Statik
2.1 Kräfte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt
ihrer Wirkungslinien
Eine spezielle Situation liegt vor, wenn ein Körper nur durch Kräfte belastet ist, deren Wirkungslinien in einer Ebene liegen und einen gemeinsamen
Schnittpunkt besitzen. Eine solche Kräfteanordnung wird auch als zentrale Kräftegruppe oder zentrales Kraftsystem bezeichnet. Diese Kräfte können
grafisch mittels Kräfteparallelogramm bzw. Krafteck und analytisch mit Hilfe
eines kartesischen Bezugssystems zu einer für den gesamten Körper statisch
äquivalenten resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Das Gleichgewicht des Körpers in dieser speziellen Situation ist gegeben, wenn die resultierende Kraft verschwindet.
2.1.1 Ermittlung der resultierenden Kraft

An einem nicht näher beschriebenen Körper greifen exemplarisch drei Kräfte
Fi an (Bild 2.1), deren Wirkungslinien einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Die Lage der Kräfte auf der Wirkungslinie ist dabei bedeutungslos.
Beispielsweise wurde der Angriffspunkt der Kraft F2 im Lageplan in den
gemeinsamen Schnittpunkt verschoben, der auch als Ursprung des Bezugssystems benutzt wird.
LP

y

F3

KP

FR

FR

F2
ey
ex
F1

F2

F3

®R

x

F1

F2

Bild 2.1. Zentrale Kräftegruppe mit Lageplan (LP) und Kräfteplan (KP)

Das Krafteck (auch Kräfteplan) ergibt mit der Aneinanderreihung der halbierten Kräfteparallelogramme die resultierende Kraft FR nach Größe, Richtung und Richtungssinn. Die Lage der Wirkungslinie der resultierenden Kraft
ist durch den gemeinsamen Schnittpunkt im Lageplan von Bild 2.1 festgelegt.
Für die grafische Realisierung wählt man einen zweckmäßigen Maßstab.

2.1

20

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

Die analytische Vektoraddition liefert die statische Äquivalenz folgender
Terme

FR = FRx ex + FRy ey =

3


3
3


Fi = (
Fix )ex + (
Fiy )ey

i=1

i=1

Fix ,

FRy =

i=1

mit
FRx =

3

i=1

3


Fiy .

i=1

Betrag, Richtung und Richtungssinn der statisch äquivalenten resultierenden
Kraft folgen aus

FRy
2 + F2 ,
tan αR =
FR = FRx
Ry
FRx
und den Vorzeichen der Vektorkoordinaten FRx , FRy .
Im Fall von n Kräften mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien
gilt die Rechenvorschrift
FRx =

n


Fix ,

FRy =

i=1

FR =

n


Fiy ,

(2.1)

i=1


2 + F2 ,
FRx
Ry

tan αR =

FRy
.
FRx

(2.2)

Beispiel 2.1
Im Lageplan von Bild 2.2 sind drei Kräfte mit den Beträgen F1 = F, F2 = 3F
und F3 = 2F gegeben. Gesucht wird auf analytischem und grafischem Weg
die resultierende Kraft mit allen Bestimmungsstücken.
LP

KP

y

ey

F2

F1

F1

F2

ex

x

F3 45°

FR

F3

|®R|

FR

1F

Bild 2.2. Lageplan (LP) und Kräfteplan (KP) zu Beispiel 2.1

2.1

Kräfte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien

21

Lösung:
Für den analytischen Lösungsweg liefert der Lageplan von Bild 2.2 mit den
gegebenen Kräften
F ey

F1 =
F2 =

3F ex
√
√
2
2
2F ex −
2F ey ,
F3 =−
2
2
FR = FRx ex + FRy ey =

3


Fi = (3 −

√
√
2)F ex + (1 − 2)F ey

i=1

= 1, 59F ex − 0, 41F ey .
Der Betrag von FR ergibt sich aus

2 + F 2 = 1, 64 F
|FR | = FR = FRx
Ry
und der Winkel αR wegen FRx > 0, FRy < 0 aus
tan αR =

FRy
= −0, 261
FRx

zu
αR = −14, 6◦.
Für die grafische Lösung mittels des Kräfteplanes ist ein Maßstab zu wählen.
Dabei bestimmt die gezeichnete Länge der Einheit 1F die Genauigkeit der
Zahlenwerte, die näherungsweise aus dem Kräfteplan von Bild 2.2 abgelesen
werden können. Die Richtung der Wirkungslinie und der Richtungssinn
von FR im Lageplan werden aus dem Kräfteplan übernommen. Das Ergebnis hängt nicht von der Reihenfolge der Kräfteanordnung im Kräfteplan ab. 
Die hier demonstrierte grafische Lösungsmethode unterstützt wie in
anderen einfachen Fällen die Vorstellung. Sie wurde in der Vergangenheit
auch für komplexere Probleme in verfeinerter Form angewendet, hat aber
mit der Entwicklung der digitalen Rechentechnik ihre Bedeutung verloren.
Künftig wird bei Benutzung des kartesischen Bezugssystems die vektorielle
Rechnung ohne Basisvektoren nur mit (2.1), (2.2) ausgeführt, und in den
Abbildungen werden Vektoren durch Pfeile mit Größenangabe festgelegt.

22

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

2.1.2 Gleichgewichtsbedingungen

Die Antwort auf die Frage, ob sich ein Körper im Gleichgewicht befindet,
folgt aus der Erfahrung. Greift nur eine Kraft an, so muss diese verschwinden, damit der Körper nicht in translatorische und eventuell rotatorische
Bewegung versetzt wird, d.h. den Zustand der Ruhe verlässt. Unterliegt der
Körper einer zentralen Kräftegruppe, so hat die resultierende Kraft zu verschwinden. Im letzten Fall wird die Gleichgewichtsbedingung für n Kräfte
durch die Bilanzen
FR =

n


Fi = 0

(2.3)

i=1

oder
n


Fix = 0 ,

i=1

n


Fiy = 0

(2.4)

i=1

erfüllt. Wegen (2.3) verschwindet auch der Betrag von FR . In der grafischen
Lösung schließt sich das Krafteck.
Beispiel 2.2
Eine masselose Scheibe sei an zwei Seilen 1, 2 aufgehängt und über ein
weiteres Seil durch ein vertikal wirkendes Gewicht G belastet (Bild 2.3). Im
Gleichgewicht stellt sich die abgebildete Anordnung ein.
1

LP

2

30°

KP

60°

FS1
30°

FS2

FS1

60°

30° FG
FS2

G

geschlossener
Schnitt

y

FG

x

Bild 2.3. Gewichtsbelastete Scheibe mit Lageplan (LP) nach Schnitt und Kräfteplan (KP)

Gesucht sind die Kräfte, die die Seile auf die Scheibe im Gleichgewicht
ausüben.
Lösung:
Für die Prüfung des Gleichgewichts der Scheibe sind zunächst deren Bindungen mit der Umgebung durch einen gedachten geschlossenen Schnitt zu
lösen. Dabei wird die Fernwirkung der Massenanziehung zwischen Gewicht

2.1

Kräfte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien

23

und Erde durch die entsprechende Kraft FG ersetzt. Die Seile übertragen erfahrungsgemäß nur Kräfte in Seilrichtung, welche als Schnittlasten agieren.
Neben dem gegebenen Richtungssinn für die Gewichtskraft werden die auf die
Scheibe wirkenden Seilkräfte FS1 und FS2 per Definition mit einer Pfeilrichtung von der Scheibe weg weisend positiv gezählt, wenn sie Zug beinhalten
(bei negativem Ergebnis, entsprechend Druck, würde ein Seil versagen), siehe
Lageplan in Bild 2.3. Für die analytische Erfüllung der Gleichgewichtsforderung kommen die beiden Kräftebilanzen (2.4) zur Anwendung. Die Beträge
der Kraftkomponenten werden addiert, wenn der Richtungssinn der Kraftkomponenten mit dem Sinn des jeweiligen Zählpfeiles →“ bzw. ↑“ gemäß
”
”
den Basisvektoren ex bzw. ey übereinstimmt, sonst abgezogen.
2


Fix = 0 ,

→: FS1 cos 60◦ − FS2 cos 30◦ = 0 ,

Fiy = 0 ,

↑: FS1 sin 60◦ + FS2 sin 30◦ − FG = 0 .

i=1
3

i=1

Man sieht, dass eine Multiplikation der einzelnen Gleichungen mit (-1), was
einer Umkehrung des Zählsinnes gleichkäme, das Ergebnis nicht ändert. Die
Zählpfeile müssen also nicht wie die Basisvektoren ex , ey angeordnet sein.
Sie können auch beliebig von null verschiedene Winkel einschließen. Der Ersatz der trigonometrischen Ausdrücke führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem
1√
1
FS1 −
3FS2 = 0 ,
2
2
1√
1
3FS1 + FS2 = FG .
2
2
√
Multiplikation der ersten Gleichung mit (− 3)√und Addition zur zweiten
sowie Multiplikation der zweiten Gleichung mit 3 und Addition zur ersten
liefert
1
2FS2 = FG ,
FS2 = FG = 0, 5FG ,
2√
√
3
FG = 0, 866FG .
FS1 =
2FS1 = 3FG ,
2
Diese Zahlenwerte können näherungsweise auch aus dem geschlossenen Kräfteplan von Bild 2.3 abgelesen werden.


24

2.2

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

2.2 Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente
senkrecht zur Ebene
2.2.1 Beliebige Kräfte in der Ebene

Anstelle der in Abschnitt 2.1 betrachteten zentralen Kräftegruppe wird jetzt
die allgemeinere (aber immer noch spezielle) Lastanordnung aus Kräften betrachtet, bei der die Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Zur Bestimmung der für den gesamten starren Körper statisch äquivalenten
resultierenden Kraft können die Kräfte auf ihrer Wirkungslinie verschoben
und wiederholt Kräfteparallelogramme gebildet werden. Diese Vorgehensweise zeigt Bild 2.4 am Beispiel von drei Kräften F1 , F2 , F3 . Die Körperkontur
wurde weggelassen.
F2

F3

FR12
F1

FR12

F3
FR

Bild 2.4. Grafische Bestimmung der resultierenden Kraft

Die grafische Lösung liefert Betrag, Richtungssinn und Lage der Wirkungslinie der resultierenden Kraft.
Das obige Ergebnis lässt auch eine analytische Lösung erwarten. Hierfür werden in einer weiteren Lastanordnung (Bild 2.5) zunächst zwei parallele Kräfte
F1 , F2 betrachtet (in Bild 2.5 mit Volllinien dargestellt). Diese sind in yRichtung orientiert. Ihre grafische Zusammenfassung mittels Kräfteparallelogramm scheitert zunächst, gelingt aber durch Hinzufügung zweier gleich großer, entgegengesetzter, auf gleicher Wirkungslinie liegender Hilfskräfte FH ,
die für sich im Gleichgewicht stehen und deshalb keinen Einfluss auf die resultierende Kraft haben.
Dem Bild 2.5 entnimmt man aus der Ähnlichkeit entsprechender Dreiecke
F2
h
=
,
b
FH

F1
h
=
,
a
FH

woraus das bekannte Hebelgesetz von ARCHIMEDES
F1 a = F2 b

2.2

Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene
y

25

FR
F2

F2

F1

b

a

FH

FH
O

x

F1

x1

h
xR
x2
Bild 2.5. Bestimmung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte

folgt. In dieser vom Bezugspunkt O der Abszisse unabhängigen Beziehung
wird b = x2 − a − x1 eingesetzt und auf beiden Seiten F1 x1 addiert
F1 a + F1 x1 = F1 (a + x1 ) = F2 (x2 − a − x1 ) + F1 x1
= F1 x1 + F2 x2 − F2 (a + x1 )
bzw.
(F1 + F2 )(a + x1 ) = F1 x1 + F2 x2 .
Durch Zusammenfassung der Faktoren entsteht schließlich
FR xR = F1 x1 + F2 x2 ,

(2.5)

eine Gleichung, die nach Ausrechnung von FR die Lage xR der Wirkungslinie
der resultierenden Kraft liefert. In (2.5) werden alle Terme nach der einheitlichen Vorschrift Kraft mal Abstand der Wirkungslinie vom gemeinsamen
”
Bezugspunkt“ gebildet. Diese Terme heißen auch Moment“ der jeweiligen
”
Kraft bezüglich des Bezugspunktes O oder gleichbedeutend bezüglich der zur
x, y-Ebene senkrechten Achse durch den Punkt O. Gleichung (2.5) besagt,
dass das Moment der resultierenden Kraft FR gleich (statisch äquivalent) ist
der Summe der Momente Fi xi bezüglich des gemeinsamen Bezugspunktes O.
Das Ergebnis hängt wie im Fall der grafischen Lösung nicht von der Hilfskraft
FH und, wie schon festgestellt wurde, nicht von der Wahl des gemeinsamen
Bezugspunktes ab. Es lässt sich auch auf mehr als zwei parallele Kräfte sowie
auf Kräfte erweitern, die parallel zur x-Achse liegen. Da alle Kräfte einer beliebigen Anordnung nach der x- und der y-Richtung zerlegt werden können,
liefert dann die Anwendung der Ergebnisse für die x- und y-Richtung einen
Schnittpunkt, der auf der Wirkungslinie der resultierenden Kraft liegt, und

26

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

damit die Lösung des Problems. Hierzu und für spätere Überlegungen wird
im Folgenden der Begriff des Momentes etwas detaillierter gefasst.
2.2.2 Momente senkrecht zur Ebene

In der x, y-Ebene sei eine Kraft F mit dem Betrag F und den Vektorkoordinaten Fx , Fy gegeben (Bild 2.6).
y

F
Fy

®

x

Fx
y

ey

ex
ez O
z

®
®

x

rn

Bild 2.6. Zum Moment einer Kraft

Das Moment M(K) der Kraft F bezüglich des Punktes O ist bestimmt durch
die Definition
M(K) = Mz(K) ez = F rn ez .

(2.6)

In (2.6) ist M(K) ein Vektor, der senkrecht auf dem Abstand rn der Wirkungslinie der Kraft F vom Punkt O und der Wirkungslinie der Kraft F
steht und dessen Richtungssinn durch die Rechtsschraube bestimmt wird,
die F mit dem Abstand rn um die z-Achse erzeugt. Er heißt deshalb auch
axialer Vektor. Seine Einheit ist gemäß (2.6) N m.
Sofern nur Momente parallel zur z-Achse in Betracht kommen, kann auf den
Gebrauch des Einheitsvektors ez verzichtet werden. Aus der Geometrie von
Bild 2.6 folgt dann für die verbleibende Koordinate des Vektors M(K) mit
(2.6)
Mz(K) = F rn =F (x sin α − y cos α)
=(F sin α)x − (F cos α)y
=Fy x − Fx y .

(2.7)

Die Äquivalenzbetrachtung für n beliebige Kräfte und die dazugehörige resultierende Kraft FR liefert
FRx =

n

i=1

Fix ,

FRy =

n

i=1

Fiy ,

(2.8)

2.2

Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

27

für FRx = 0, FRy = 0 analog zu (2.5)

1 
Fiy xi ,
FRy i=1
n

xR =


1 
Fix yi ,
FRx i=1
n

yR =

d.h. einen Punkt xR , yR der Wirkungslinie von FR , sowie
MRz = FRy xR − FRx yR =

n


(Fiy xi − Fix yi ) =

i=1

n


(K)

Miz

.

(2.9)

i=1

Die Geradengleichung der Wirkungslinie von FR lautet mit dem Anstieg (2.2)


n
Fix yi FRx
y−
y − yR
FRy
i=1
=
=


n
x − xR
FRx
x−
Fiy xi FRy
i=1

oder



FRy
1 
Fiy xi −
Fix yi
x−
FRx
FRx i=1
i=1
n

y=

n

und mit (2.9)
y=

FRy
MRz
x−
,
FRx
FRx

FRx = 0 bzw. x =

MRz
,
FRy

FRx = 0 .

(2.10)

In (2.9) ist das Moment MRz der resultierenden Kraft FR bezüglich des
(K)
Punktes O gleich der Summe der Momente der Kräfte Miz bezüglich
desselben Punktes O. Die Lage der resultierenden Kraft relativ zu den
Kräften, aus denen sie berechnet wurde, hängt nicht von der Wahl des
Bezugspunktes O bei der Aufstellung von (2.9) ab.
Beispiel 2.3
Gegeben sei eine √
Rechteckscheibe mit der Abmessung a und den Kräften
F1 = F , F2 = 2 2F (Bild 2.7). Gesucht ist die resultierende Kraft auf
analytischem Weg.
Lösung:
Zunächst werden die Vektorkoordinaten und der Betrag der resultierenden
Kraft gemäß (2.8), (2.2) bestimmt, wobei der Summationsindex an den Sum-

28

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik
y
a

F1

a

F2
45°
FR

a
®R

z
a/2

x

O

Bild 2.7. Zur analytischen Bestimmung der resultierenden Kraft

menzeichen zur Vereinfachung weggelassen wird.
√

√ 2
◦
F = 2F ,
FRx =
Fix = F2 cos 45 = 2 2
2
√

√ 2
◦
FRy =
F =F ,
Fiy = −F1 + F2 sin 45 = −F + 2 2
2

√
2 + F2 =
FR = FRx
5F .
Ry
Das Moment der resultierenden Kraft bezüglich des Punktes O ergibt sich
aus (2.9)

MRz =
(Fiy xi − Fix yi )
= −F1 a + (F2 sin 45◦ )2a − (F2 cos 45◦ )a
√
√
√
√
2
2
2a − 2 2F
a = Fa
= −F a + 2 2F
2
2
und die Gleichung der Wirkungslinie der resultierenden Kraft aus (2.10)
y=

Fa
x a
FRy
MRz
F
x−
= − .
x−
=
FRx
FRx
2F
2F
2
2

Der Winkel αR der Wirkungslinie zur x-Achse nach Bild 2.7 beträgt mit (2.2)
tan αR =

FRy
1
= ,
FRx
2

αR = 26, 6◦ .


In den bisherigen Betrachtungen existierte eine resultierende Kraft mit von
null verschiedenem Betrag. Eine besondere Situation entsteht im Falle zweier
gleich großer entgegengerichteter paralleler Kräfte mit verschiedenen Wirkungslinien (sogenanntes Kräftepaar, siehe Bild 2.8).
Gemäß Kräfteplan verschwindet die resultierende Kraft. Zu den bisher berücksichtigten Erfahrungen tritt jetzt eine weitere wichtige unabhängige Erfahrung hinzu, nämlich dass die Anordnung von Bild 2.8 sich trotz verschwin-

2.2

Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

29

KP

LP

y

ey
O
ez
z ex

F

l

F

FR =0

x

Bild 2.8. Kräftepaar mit Lageplan (LP) und Kräfteplan (KP)

dender resultierender Kraft nicht im Gleichgewicht befindet. Der Körper
verlässt unter der Wirkung des Kräftepaares seinen Ruhezustand, indem er,
anders als bei nichtverschwindender resultierender Kraft, eine rein rotatorische Bewegung ausführt. Für die in der Statik zu gebende Antwort auf die
Frage, wie diese Art der Gleichgewichtsverletzung verhindert werden kann,
wird das Moment MKP des Kräftepaares eingeführt. Seine Definition lautet
MKP = F l ez .

(2.11)

In (2.11) bezeichnet l nach Bild 2.8 den Abstand zwischen den Wirkungslinien
der beiden Kräfte. Dieser hängt im Gegensatz zu rn in (2.6) definitionsgemäß
nicht von einem Bezugspunkt ab. Die Größe MKP (gemessen in N m) ist
ein axialer Vektor, der weder einen Bezugspunkt noch im Allgemeinen einen
Angriffspunkt besitzt. Er steht senkrecht auf der Ebene des Kräftepaares,
und sein Richtungssinn wird durch die Rechtsschraube bestimmt, die das
Kräftepaar um die z-Achse erzeugt. Deshalb kann auch hier auf die Angabe
des Einheitsvektors ez verzichtet werden. Als einzige Koordinate des Vektors
MKP z verbleibt
MKP z = F l .

(2.12)

Für statische Äquivalenzbetrachtungen am gesamten Körper ist das Kräftepaar in der Ebene durch beliebige andere Kräftepaare von gleichem Momentenbetrag und mit gleichem Drehsinn ersetzbar. Dies zeigt Bild 2.9.
P1

F

*

F

®

l
FH

P ¢1

P ¢2

FH

®
*
l F

®

*

F
P2

Bild 2.9. Statische Äquivalenz zweier Kräftepaare

30

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

Zu den im Abstand l gegebenen Kräften der Größe F werden zwei entgegengesetzt gleich große, auf einer gemeinsamen Wirkungslinie liegende Hilfskräfte FH hinzugefügt, die die statische Gesamtsituation nicht ändern. Die
Anwendung des Kräfteparallelogramms in Bild 2.9 ergibt
∗

MKP z = F l = F cos α

∗

∗∗
l
= Fl .
cos α

(2.13)

Die Äquivalenz (2.13) gestattet auch den Grenzübergang α → π/2, d.h.
∗

∗

∗∗

F /F → ∞, l/l → 0 mit F l = F l . Werden dazu noch die Kraftangriffspunkte auf gleiche Höhe gebracht, z.B. durch Verschiebung des Punktes P1
nach P1 und des Punktes P2 nach P2 , so entsteht das konzentrierte Moment
eines Kräftepaares. Dieses besitzt einen Angriffspunkt an der Stelle, wo P1
beliebig nahe an P2 herangerückt wurde. Die Lage dieses Angriffspunktes
beeinflusst wie beim Einzelmoment im Bild 1.5, wo der Momentenvektor in
der Zeichenebene liegt, die Lastverteilung im Körper. Für das Gleichgewicht
des gesamten starren Körpers ist sie genauso bedeutungslos wie die Verschiedenartigkeit der Bestandteile der Momente von Kräftepaaren mit gleichem
Richtungssinn und gleichem Betrag gemäß (2.13).
Die Vektoreigenschaft der Momente von Kräften und Kräftepaaren ergibt sich
mittels der Momentendefinition aus den Vektoreigenschaften von Abständen
und Kräften. Die Vektoreigenschaft von Einzelmomenten ist, wie früher bemerkt, eine unabhängige Erfahrungstatsache. Als solche benötigt sie keinen
Bezug zu den Vektoreigenschaften von Abständen und Kräften. Wir setzen
aber die statische Äquivalenz zwischen Einzelmomenten und Momenten von
Kräftepaaren voraus. Diese Äquivalenz wird durch die später zu akzeptierende, empirisch eingeführte allgemeine Momentenbilanz begründet. In einer
solchen Äquivalenz stehen die Vektoreigenschaften des Einzelmomentes bei
Verwendung der Gleichung (2.11) sowie des im Kapitel 6 angegebenen Kreuzproduktes (6.10) im Einklang mit den Vektoreigenschaften der Kräfte auf zwei
gegebenen parallelen Wirkungslinien und des dazugehörigen Abstandvektors.
Einzelmomente, die hier voraussetzungsgemäß auf der Betrachterebene senkrecht stehen und deren Orientierung  in z-Richtung auch durch das Symbol
“ gemäß Rechtsschraube angezeigt wird, können unter Beachtung ihrer
”
Vorzeichen durch algebraische Addition zu einem für den gesamten Körper
statisch äquivalenten resultierenden Moment zusammengefasst werden. Bei
statisch äquivalenter Zerlegung der Einzelmomente in Kräftepaare gemäß
(2.12) würden die Vektoraddition der entstandenen Kräfte und die anschließende Berechnung des Momentes des Kräftepaares der resultierenden Kräfte
zum gleichen Ergebnis führen.

2.2

Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

31

Beispiel 2.4
Eine Scheibe sei durch drei Einzelmomente M1 = M , M2 = 2M , M3 = 4M
belastet (Bild 2.10). Gesucht ist das resultierende Moment Mz .
M2

M1

M3
z
Bild 2.10. Scheibe mit drei Einzelmomenten

Lösung:
Das resultierende Moment Mz ergibt sich aus
Mz = M1 − M2 + M3 = (1 − 2 + 4)M = 3M ,
wobei mögliche Angriffspunkte der Mk keine Bedeutung haben.



Im allgemeinen Belastungsfall liegen außer beliebigen Kräften Fi noch
Einzelmomente Mk , die senkrecht zur x, y-Ebene stehen, vor. Die resultierende Kraft wird dann wie bisher aus den Kräften ohne Berücksichtigung
der Einzelmomente gebildet. Die beiden Teilergebnisse sind gemeinsam der
Ausgangsanordnung des Belastungsfalles statisch äquivalent. Das gesamte
resultierende Moment ist die Summe der Momente aller Kräfte bezüglich
eines Punktes und aller Einzelmomente. Das gesamte resultierende Moment
wird bei der Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen und später in der
Kinetik benötigt.
Beispiel 2.5
Eine Scheibe sei gemäß Bild 2.7 und Bild 2.10 der Beispiele 2.3 und 2.4
belastet (Bild 2.11).
y

M1

F1
a

a

45° F2

M2
M3

a

O z

x

Bild 2.11. Scheibe unter Kräfte- und Momentenbelastung

Gesucht sind die resultierende Kraft und das gesamte resultierende Moment
bezüglich des Punktes O.

32

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

Lösung:
Die resultierende Kraft ergibt sich wie im Beispiel 2.3 ohne Berücksichtigung
der Einzelmomente M1 , M2 , M3 . Das gesamte resultierende Moment MGz
bezüglich des Punktes O folgt aus dem Ergebnis für MRz des Beispiels 2.3
unter Hinzufügung des Ergebnisses für Mz von Beispiel 2.4.
MGz = MRz + Mz = F a + 3M .

Ergänzend ist noch der Begriff des Versatzmomentes zu erklären, der sich ergibt, wenn eine Kraftwirkungslinie unter Wahrung der statischen Äquivalenz
für den gesamten Körper parallel verschoben wird (Bild 2.12).

l
=
F

MKP =F·l

F
=

l
F

F

F

Bild 2.12. Statische Äquivalenz unter Berücksichtigung eines Versatzmomentes

Gemäß Bild 2.12 muss bei Parallelverschiebung der Kraftwirkungslinie des
linken Bildes um den Abstand l das Versatzmoment MKP = F l, interpretierbar als Einzelmoment mit beliebigem Angriffspunkt, hinzugefügt werden.
Die Äquivalenz kann auch von rechts nach links gelesen werden. Deshalb ist
die aus dem gegebenen Moment MKP und der Kraft F im rechten Bild bestehende Belastung der Kraft im linken Bild statisch äquivalent, sofern der
Kraftbetrag nicht verschwindet. Dann lässt sich diese Kraft als eine Resultierende der Gesamtbelastung interpretieren, ein Begriff, den wir nicht weiter
benutzen wollen.
Abschließend sei nochmals hervorgehoben, dass das Moment einer Kraft einen
Bezugspunkt, das Einzelmoment aber einen Angriffspunkt besitzt. Das Moment eines Kräftepaares hängt nicht von einem Bezugspunkt ab.
2.2.3 Gleichgewichtsbedingungen

Das Gleichgewicht eines Körpers mit einem Einzelmoment als einzige Belastung ist erfahrungsgemäß nur möglich, wenn dieses Moment verschwindet.
Greifen mehrere Einzelmomente an, so muss bei Gleichgewicht die Summe
der Einzelmomente null sein.
Im allgemeinen Fall mehrerer beliebiger Kräfte Fi in der x, y-Ebene und
zur x, y-Ebene senkrechter Einzelmomente Mk müssen zur Gewährleistung
des Gleichgewichts die resultierende Kraft FR und das gesamte resultieren-

2.2

Beliebige Kräfte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

33

(K)

de Moment MG , gebildet als Summe aus den Momenten Mi
der Kräfte
bezüglich eines Bezugspunktes und den Einzelmomenten Mk , gemeinsam verschwinden. Wegen der verschwindenden resultierenden Kraft ist der Bezugspunkt für die Bildung der Momente der Kräfte beliebig wählbar. Die beiden
durch die Erfahrung begründeten Vektorgleichungen zur Gewährleistung des
Gleichgewichts eines Körpers unter n Kräften Fi und m Einzelmomenten Mk
FR =

n


Fi = 0 ,

MG =

i=1

n


(K)

Mi

i=1

+

m


Mk = 0

(2.14)

k=1

liefern in Koordinatendarstellung zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen
(Kräftebilanzen) und eine Momentengleichgewichtsbedingung (Momentenbilanz):
n


Fix = 0 ,

n


→: ... ,

i=1

Fiy = 0 ,

↑: ... ,

(2.15)

i=1
n

i=1

(xi Fiy − yi Fix ) +

m


Mkz = 0 ,



O : ... .

(2.16)

k=1

Die Zählpfeile →, ↑, “ geben den für jede Gleichung einheitlich zu verwen”
denden Zählsinn an. Sie können jeweils auch unabhängig vom Bezugssystem
gewählt werden. Der beliebige Bezugspunkt O für (2.16) soll daran erinnern,
dass er für alle Terme in der linken Summe von (2.16) einheitlich gilt. Die
Anzahl der Gleichungen (2.15), (2.16) stimmt mit dem Freiheitsgrad f = 3
des starren Körpers in der Ebene überein.
Die Gleichungen (2.15), (2.16) sind die mit der Beschränkung auf Kräfte
in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene geltenden Grundgesetze
der Statik. Sie beruhen auf zwei unabhängigen Erfahrungssätzen (Axiomen).
Das Teilgleichungssystem (2.15) geht im wesentlichen auf NEWTON zurück.
Der vollständige, nicht aus (2.15) gewinnbare Gleichungssatz (2.15), (2.16),
der wegen der linken Summe in (2.16) das ARCHIMEDESsche Hebelgesetz
enthält, wird EULER (1707-1783) zugeschrieben. Es sei nochmals betont,
dass mit (2.16) auch dann eine Gleichgewichtsforderung bestehen bleibt, wenn
alle Kräfte verschwinden, d.h. nur Einzelmomente auftreten. Im Vergleich
zu dieser einfachen Situation ist das Gleichgewichtsstudium bei alleiniger
Belastung des Körpers durch beliebige Kräfte schwieriger, da in diesem Fall
das gesamte Gleichungssystem (2.15), (2.16) betrachtet werden muss.
Die Berechtigung der in Abschnitt 2.2.2 vorausgesetzten statischen
Äquivalenz zwischen Einzelmomenten und Momenten von Kräftepaaren ergibt sich aus (2.15), (2.16), wenn in (2.16) die Einzelmomente durch entge-

34

2. Kräfte und Momente in der ebenen Statik

gengesetzt gleich große Terme ersetzt werden, da der linke Summand von
(2.16) wegen (2.15) das Moment eines Kräftepaares darstellt.
Die Gültigkeit von (2.15), (2.16) wird für den gesamten Körper und beliebige
Teile von ihm gefordert. Hiermit kann der noch fehlende Nachweis erbracht
werden, dass die Schnittlasten paarweise mit entgegengesetzt gleich großen
Partnern auftreten. Dies wird am Beispiel eines Stabes unter Zugbelastung
gezeigt (Bild 2.13).
F1

F
F

F2 F3

F1

Bild 2.13. Schnittlastbetrachtung

Gleichgewicht am gesamten Körper erfordert
→:

−F1 + F = 0 ,

F1 = F .

Gleichgewicht an den Teilen des Körpers ergibt
→: −F1 + F2 = 0 ,

F2 = F1 = F ,

→: −F3 + F = 0 ,

F3 = F = F2 .

Analoges gilt für die später benötigten quer zum Stab orientierten Schnittkräfte und für Schnittmomente.

Kapitel 3
Ebene Tragwerke

3

3

3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Ebene Tragwerke
Geometrische Einteilung der Tragwerke .....................
Lagerarten .........................................................
Lasten ..............................................................
Bestimmung der Lagerreaktionen .............................
Streckenlasten ....................................................

37
39
40
42
47

3 Ebene Tragwerke
Beim bisherigen Studium der Äquivalenz von Kräften und Momenten an
Körpern wurde nur die geometrische Anordnung der Lasten betrachtet. Reale Bauteile nehmen Lasten auf (auch als eingeprägte Lasten bezeichnet), die
über Lager (auch Auflager) an die Umgebung weitergeleitet werden. Die weitergeleiteten Lasten wecken in den Lagern Reaktionen, die auf das Bauteil
zurückwirken und so das Gleichgewicht sichern. Der Begriff des Tragwerkes
umfasst neben dem Bauteil und den zugelassenen Lasten auch die Lager.
In einem statischen Modell wird das reale Bauteil durch einen einfachen
Körper ersetzt, der je nach Geometrie und Belastung häufig eine spezielle
mechanische Bezeichnung erhält. Außerdem ist die komplizierte konstruktive
Ausbildung realer Lager durch vereinfachende Annahmen auf überschaubare
simple Lagertypen zu reduzieren. Beide Maßnahmen erfordern Kenntnisse
über die wirkliche Konstruktion und sind deshalb nicht Gegenstand dieser
Ausführungen. Die hier zu behandelnden Tragwerke liegen bereits als statisches Modell vor und bestehen aus dem belasteten Körper und einfachen
typisierten Lagern. Umfassen Tragwerksmodelle mehrere Körper, so sprechen
wir von zusammengesetzten Tragwerken. Ein einfaches Beispiel hierfür zeigt
Bild 3.1. Dort ist ein starrer Balken in einer als Lager bezeichneten starren
Wand eingespannt. An seinem rechten Ende befindet sich eine feste Rolle,
die sich reibungsfrei drehen kann. Über die Rolle wird ein biegeschlaffes Seil
geführt, an dessen einem Ende ein Gewicht vertikal hängt und dessen anderes Ende an der Wand befestigt ist. Es können z.B. die Lagerreaktionen von
Interesse sein.
Balken
feste Rolle

Lager

Seil
Gewicht
Ä
(eingepragte
Kraft)
Bild 3.1. Tragwerksbeispiel

3.1 Geometrische Einteilung der Tragwerke
Linienförmige Tragwerke liegen vor, wenn eine Hauptabmessung deutlich größer als die beiden anderen Abmessungen ist. Als Beispiel hierfür gibt Bild 3.2
einen unterschiedlich belasteten Stab und einen gekrümmten Balken wieder,
wobei die Einzelmomente Mt beim Torsionsstab und M beim geraden Bal-

3.1

38

3. Ebene Tragwerke

ken aus der ebenen Statik, die entsprechend Kapitel 2 nur Kräfte in der
Betrachterebene und Momente senkrecht dazu berücksichtigt, hinausführen.
Erstmals tritt auch im Fall des Balkens eine auf einer Linie verteilte Kraft
(als Linienkraftdichte bezeichnet) auf.
l1
l2

l3

Stab

Zugstab

Mt

Mt

Torsionsstab

Balken

M

M

l3
l1

l2

Ä
Gekrummter
Balken
Bild 3.2. Linienförmige Tragwerke für l1 >> l2 , l3

Bei Flächentragwerken übersteigen zwei Hauptabmessungen deutlich die dritte (Bild 3.3). Die Beispiele enthalten eine in ihrer Ebene durch verteilte Kräfte
belastete Scheibe (Bild 3.3a), eine durch eine Linienmomentendichte belastete Platte (Bild 3.3b) und eine durch eine Flächenkraftdichte (Innendruck)
belastete Schale (Bild 3.3c).
l1

l1

l2

l2

l3

l3

a)

b)
l2
l1

pi - Innendruck

pi

c)

l3

Bild 3.3. Flächentragwerke für l1 , l2 >> l3 ; Scheibe a), Platte b) und Schale c)

Einführend werden einfache, d.h. aus einem Bauteil oder Körper bestehende, linien- und scheibenförmige Tragwerke, die durch Kräfte in der Ebene
des Tragwerkes und Momente senkrecht zu dieser Ebene belastet sind (ebene
Tragwerke), behandelt, in der Ebene liegende Momente wie beim Torsions-

3.2

Lagerarten

39

stab und geraden Balken sowie hier nicht angegebene Kräfte senkrecht zur
Ebene also ausgeschlossen.
Außer in extra zu untersuchenden Fällen wird künftig die Bemaßung der Mittellinie von Stäben und Balken wegen l1 >> l2 , l3 der Bemaßung einer der beiden Linien der durch den Doppelstrich symbolisierten Kontur näherungsweise
gleichgesetzt.

3.2 Lagerarten
Gemäß der in Abschnitt 3.1 definierten Belastung muss der Freiheitsgrad f
der noch nicht gelagerten, ebenen Tragwerke, der zwei Verschiebungen in der
Ebene und eine Drehung um eine Achse senkrecht zur Ebene, also f = 3
Bewegungsmöglichkeiten umfasst, auf fr = 0 reduziert werden. Dabei bleiben die aus der Ebene herausführenden Bewegungsmöglichkeiten, die in der
Realität meist konstruktiv verhindert sind, außerhalb der Betrachtung. Die
Reduktion des Freiheitsgrades wird durch unterschiedliche Lagerkonstruktionen verwirklicht, die eine, zwei oder drei Bindungen mit der Umgebung
gewährleisten, so dass mit allen beteiligten Lagern zusammen die Bedingung
fr = 0 erfüllt wird. Dieser Zustand heißt auch statisch bestimmt und wird im
Folgenden vorausgesetzt. Die Lager tragen nach der Anzahl ihrer Bindungen
die Bezeichnung ein-, zwei- oder dreizählig.
Die mehr oder weniger komplizierten realen Lagerkonstruktionen werden zu
Modellen idealisiert, die symbolisch die gebundenen und die frei gebliebenen
Bewegungsmöglichkeiten darstellen und folglich nach dem Freimachen (auch
Freischneiden) eine eindeutige Aussage über die vom Lager auf das Bauteil
ausübbare Belastung (Lagerreaktion) erlauben.
Bild 3.4 enthält einige wichtige Beispiele für verschiedene Lager, ihre Bezeichnung, das Symbol für das Modell, die dazugehörigen möglichen Lagerreaktionen (Einzelkräfte und -momente, deren Zählpfeile auch entgegengesetzt zum
eingetragenen Richtungssinn angenommen werden dürfen) für den Fall des
Auftretens beliebiger, hier nicht angegebener, eingeprägter Lasten und den
verbliebenen Freiheitsgrad fL des Tragwerkes am Lager, der zusammen mit
der Zahl der Lagerreaktionen den Freiheitsgrad f = 3 des starren Körpers
in der Ebene ergeben muss. Balken werden im Symbol als Doppellinie gezeichnet, nach dem Freimachen vom Lager vereinfacht als fette Volllinie. Die
gelenkige Verbindung zwischen symbolisiertem Lagerbock und Balkenende (s.
zweizähliges Festlager) wird gleichbedeutend durch das scharnierartige Symbol bzw. die Spitzenlagerung dargestellt, wobei die geringfügige Exzentrizität
der Spitze außerhalb der Balkenachse unbeachtet bleibt. Das Loslager realisiert eine Kraft senkrecht zu seiner Verschieblichkeit. Das Festlager und die

3.2

40

3. Ebene Tragwerke

Einspannung lassen verschiedene Lagerkraftzerlegungen zu, deren zwei Komponenten nicht notwendig senkrecht aufeinander stehen müssen. Die Einspannung kann jedoch zusätzlich noch ein Einzelmoment auf das Bauteil ausüben.
Gelenke und Führungen werden spiel- und reibungsfrei angenommen.
Bezeichnung

Art und Anzahl der
Lagerreaktionen

Symbol

gelenkiges Losoder Rollenlager
Ä
(einzahlig)

B

Freiheitsgrad
am Lager
fL =2
1 Verschiebung
1 Drehung um B

FB

FBh

B

FBv
auch

Festlager
Ä
(zweizahlig)

fL =1
1 Drehung um B

B
FBh
Einspannung
Ä
(dreizahlig)

B

MB

parallele
Ä
Fuhrung
Ä
(zweizahlig)
orthogonale
Fuhrung
Ä
Ä
(zweizahlig)

FBv

MB

FB

B

B

FB

fL =0

fL =1
1 Verschiebung

fL =1
1 Verschiebung

MB
Bild 3.4. Beispiele für Lagerarten

3.3

3.3 Lasten
Die in der Realität auf Tragwerke wirkenden eingeprägten Lasten müssen
idealisiert werden. Die am weitesten gehende Vereinfachung führt zu den
schon benutzten Lasten Einzelkraft und Einzelmoment (siehe Abschnitt 1.2).
Linienförmige Tragwerke können in der Ebene durch verteilte Kräfte quer
oder längs zur Stabachse belastet werden (Bild 3.5). Diese Linienkraftdichten werden in N/m gemessen. Ihr Wert kann vom Ort abhängen und wird
dann durch eine Funktion der Ortskoordinate q(s) bzw. ql (s) angegeben. Man

3.3

Lasten

41

spricht von Streckenlasten, obwohl das allgemeinere Wort Last auch Momente
beinhaltet.
q(s)

q l(s)
s

s

b)

a)

Bild 3.5. Streckenlasten: a) Balken, b) Zugstab

Verteilte Momente, die senkrecht auf der Betrachterebene stehen, werden
durch eine Linienmomentdichte m(s) mit der Einheit N m/m = N beschrieben (Bild 3.6).
m(s)

s
Bild 3.6. Linienmomentendichte beim Balken

Die Lasten von Bild 3.5 und 3.6 können auch als Querschnittsmittelwerte von
Volumenlastdichten aufgefasst werden, für deren Beschreibung eine Funktion
von einer Variablen ausreicht.
Das Beispiel einer tangentialen Flächenkraftdichte t infolge gleichmäßig verteilten Gewichts in einer homogenen Scheibe der Dicke h mit konstanter Volumenmassendichte ρ demonstriert Bild 3.7. Mit der Volumenmassendichte
ρ und der Erdbeschleunigung g = 9, 81ms−2 ergibt sich zunächst eine zur
Scheibenebene tangential orientierte Volumenkraftdichte (Wichte) γ = ρg
und damit die tangentiale Flächenlast t = γh = ρgh in der Einheit
[t] = [γh] = [ρgh] =

N
kg m
m= 2 .
m 3 s2
m

Für b << a entsteht ein Balken, der durch die konstante Streckenlast q = tb
belastet ist. Eine in Balkenachsrichtung veränderliche Höhe b << a würde
zu einer variablen Streckenlast führen.
t

h
b

a
Bild 3.7. Tangentiale Flächenkraftdichte (auch Flächenlast)

42

3. Ebene Tragwerke

Auf Flächentragwerke wirken häufig normal orientierte Flächenlasten. Denkbar sind auch Linientorsionsmomentendichten bei Stäben, seltener Flächenmomenten- und Volumenmomentendichten.

3.4

3.4 Bestimmung der Lagerreaktionen
Aus den bisher bereitgestellten Informationen ergibt sich die Vorgehensweise
zur Bestimmung der Lagerreaktionen:
a) Mittels eines geschlossenen Schnittes durch alle Lager wird das Tragwerk
von seiner Umgebung gelöst (befreit, freigemacht, freigeschnitten). Die auf
das Tragwerk ausgeübten Lagerreaktionen entsprechend den geschnittenen Bindungen werden eingetragen. Wegen der vorausgesetzten statischen
Bestimmtheit treten drei Lagerreaktionen auf.
b) Die Gleichgewichtsbedingungen sind gemäß (2.15), (2.16) aufzustellen.
Anstelle der Zählrichtungen → und ↑ können auch zwei beliebige nicht
parallele Zählrichtungen benutzt (günstig für schräge Anordnungen) und
Kraftgleichungen durch Momentengleichungen ersetzt werden (dies wird
am Beispiel erläutert).
c) Aus den Gleichgewichtsbedingungen sind die Lagerreaktionen zu berechnen.
d) Es empfiehlt sich, das Ergebnis Kontrollen, deren Erfüllung notwendig ist,
zu unterziehen.
Beispiel 3.1
Ein gestützter Balken der Länge 2a wird mittig durch die Kraft F belastet
(Bild 3.8). Gesucht sind die Lagerreaktionen.
Lösung:
Mittels des geschlossenen Schnittes entstehen zwei Teile, der Balken mit der
eingeprägten Kraft und den auf ihn wirkenden Lagerreaktionskräften entsprechend Bild 3.4 sowie die Umgebung, symbolisiert durch die abgetrennten Lagerteile mit den zu den Lagerreaktionskräften entgegengesetzt gleich
großen Kräften, die der Balken auf die abgetrennten Lagerteile ausübt. Letztere werden künftig weggelassen. Hinsichtlich der Indexbezeichnungen für die
Kräfte in der Ebene wurden an Stelle von x bzw. y der Index h (horizontal)
bzw. v (vertikal) eingeführt. Diese zweckmäßige Bezeichnung kann auch für
die später zu benutzenden gleich großen, aber entgegengerichteten Gelenkkräfte in zusammengesetzten Tragwerken beibehalten werden.

3.4

Bestimmung der Lagerreaktionen
a

43
geschlossener
Schnitt

a
F

B

C

D
l

B
FBh

FBh

F

E
FBv

FC

FBv

FC

Bild 3.8. Zur Bestimmung der Lagerkräfte eines Balkens

Die Gleichgewichtsbedingungen (2.15), (2.16) für den Balken liefern
→:

FBh = 0 ,
FBv + FC − F = 0 ,

↑:


−F a + FC 2a = 0 ,

B:
mit dem Ergebnis

FC =

F
,
2

FBv =

F
.
2


Zur Bestimmung von FBv wurden beide Gleichungen ↑, B benötigt. An Stelle
von ↑ hätte eine weitere Momentengleichung um einen von B verschiedenen
Bezugspunkt C, der zusammen mit B eine auf der Richtung von → nicht
senkrecht stehende Gerade festlegt,


C:

−FBv 2a + F a = 0 ,

FBv =

F
2

das Ergebnis für FBv vorteilhaft direkt geliefert. Die statt ↑ ausgeführte Momentengleichung um D


D:

FBh l − F a + FC 2a = 0 ,

l = 0

(die Gerade BD bildet mit der Richtung → einen rechten Winkel) ergibt zu
sammen mit FBh = 0 aus → die Gleichung B , also keine neue Information.

Andererseits gewinnt man aus ihr und B das Ergebnis →, d.h. die Bedingun  

gen B , C , D sind den Bedingungen ↑, →, B gleichwertig. Voraussetzung war
allerdings, dass B, C, D nicht auf einer Geraden liegen, wie das Gegenbeispiel


E:

−FBv a + FC a = 0

44

3. Ebene Tragwerke
 



zeigt, das eine zu B , C linear abhängige Gleichung liefert, die gegenüber B ,

C keine neue Information enthält. Ohne allgemeinen Beweis ist festzustellen,
dass der in diesem Beispiel demonstrierte Ersatz von Kräftegleichgewichtsbedingungen durch Momentengleichgewichtsbedingungen sinngemäß in beliebigen anderen Fällen ausgeführt werden darf.
Abschließend sei auf die Symmetrie der Anordnung von Bild 3.8 infolge
FBh = 0 verwiesen. Die Symmetrie ist mit FC = FBv erfüllt und stellt eine
zusätzliche Kontrollmöglichkeit dar.

Beispiel 3.2
Ein bei B eingespannter Balken der Länge l ist durch zwei Kräfte F1 , F2 und
das Einzelmoment M0 belastet (Bild 3.9). Gesucht sind die Lagerreaktionen.
l

F1

B

F2

FBh
MB

M0

F1

C

M0
FBv

F2

Bild 3.9. Zur Bestimmung der Lagerreaktionen des eingespannten Balkens

Lösung:
Der geschlossene Schnitt liefert den freigemachten Balken mit den auf ihn
wirkenden Lagerreaktionen gemäß Bild 3.4. Die Gleichgewichtsbedingungen
(2.15), (2.16) ergeben
→:

FBh + F1 = 0 ,

FBh = −F1 ,

↑:

FBv − F2 = 0 ,

FBv = F2 ,

MB − F2 l − M0 = 0 ,

MB = F2 l + M0 .



B:


Anstelle von B oder als Kontrolle ist auch z.B.


C:

MB − FBv l − M0 = 0 ,

MB = FBv l + M0 = F2 l + M0

möglich.
Die Anordnung von Bild 3.9 enthält auch den speziellen Lastfall F1 = F2 = 0,
für den die beiden Kräftebilanzen verschwindende Lagerkräfte liefern und die
verbleibende Momentenbilanz
MB − M0 = 0

3.4

Bestimmung der Lagerreaktionen

45

nur Einzelmomente enthält, was die Bedeutung des rechten Summanden in
(2.16) unterstreicht.

Beispiel 3.3
Ein gestützter Balken der Länge l ist durch zwei Einzelmomente M1 , M2
belastet (Bild 3.10). Das Einzelmoment M1 greift am rechten Balkenende
an, das Einzelmoment M2 an einer beliebigen Balkenstelle. Gesucht sind die
Lagerreaktionen.
l
M2

M1

B

C

M2

M1
FCh

FB

FCv

Bild 3.10. Durch Einzelmomente belasteter Balken

Lösung:
Die Gleichgewichtsbedingungen (2.15), (2.16) für den freigemachten Balken
liefern
→:
↑:


B:

FCh = 0 ,
FB + FCv = 0 ,
M2 − M1 + FCv l = 0

und nach Auflösung
FCv =

1
(M1 − M2 ) ,
l

1
FB = − (M1 − M2 ) .
l

Eine zusätzliche Momentenbedingung


C:

−FB l + M2 − M1 = 0 ,

FB =

1
(M2 − M1 )
l

bestätigt das Ergebnis.
Bemerkung:
Die Lage der Angriffspunkte der Einzelmomente beeinflusst erwartungsgemäß nicht die Lagerreaktionen. Der in Bild 3.10 enthaltene einfachere
Fall M1 = 0 zeigt deutlich die im Abschnitt 1.2.2 vorweggenommene und
in (2.16) auf die Erfahrung gestützte Vergleichbarkeit des Einzelmomentes
M2 mit dem Moment lFB des aus den Lagerreaktionen und ihrem Abstand
gebildeten Kräftepaares. Er demonstriert auch die in den Abschnitten 2.2.2

46

3. Ebene Tragwerke

und 2.2.3 angesprochene statische Äquivalenz zwischen dem Einzelmoment

M2 und dem Moment −lFB .
Beispiel 3.4
Ein abgewinkelter gestützter Balken ist durch zwei Kräfte F1 = 2F , F2 = F
und durch eine Einzelmoment M0 = 2F a belastet (Bild 3.11). Gesucht sind
die Lagerreaktionen.
a

a
F1

B

F2

M0
a

45°

C

F1

FBh

F2

M0

FC cos 45°

FBv

FC
FC

FC sin 45°

45°
45°

Bild 3.11. Zu den Lagerreaktionen des abgewinkelten Balkens

Lösung:
Nach dem Freimachen werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt und
ausgewertet.
√

4√
2
(2a + a) = 0 ,
FC =
2F .
B : −F1 a − M0 + FC
2
3
Hier wurde die Lagerkraft FC √in horizontale und vertikale Komponenten
zerlegt und sin 45◦ = cos 45◦ = 22 eingesetzt.
√
√
F
2
4√ 2
=0,
FBh = F −
F =− ,
→ : FBh − F2 + FC
2
2
3
2
3
√
2
2
4
=0,
FBv = 2F − F = F .
↑ : FBv − F1 + FC
2
3
3
Die Kontrolle nach Eintragung der zahlenmäßigen Ergebnisse unter Berücksichtigung der Vorzeichen und einer zusätzlichen Momentengleichung (Bild
3.12) bestätigt die Richtigkeit der Lösung. Zweckmäßigerweise werden dabei

3.5

Streckenlasten

47
2F

D F

F/3
(2/3)F

2Fa

(4/3)F
(4/3)F
Bild 3.12. Kontrolle des Gleichgewichts des Balkens nach Bild 3.11

die entstehenden Gleichungen von den Einheiten F bzw. F a befreit.
4
1
→: − − 1 + = 0 ,
3
3

2
4
−2+ =0 ,
3
3

↑:


2
4
D: − 2 + 2 − 2 + = 0 .
3
3



3.5

3.5 Streckenlasten
Unterschiedliche Lastarten wurden bereits im Abschnitt 3.3 besprochen. Im
Folgenden werden Streckenlasten auf geraden Stab- bzw. Balkenabschnitten
behandelt. Bei der Bestimmung der Lagerreaktionen sind die Streckenlasten
zweckmäßig durch statisch äquivalente Einzellasten zu ersetzen. Der häufigste
Fall ist der mit einer quer zur Balkenachse wirkenden Streckenlast q(s) (Bild
3.13). Die außerhalb des Intervalls 0 ≤ s ≤ a befindlichen Lagerreaktionen
wurden hier und in den folgenden Bildern 3.14, 3.15 ausnahmsweise nicht
eingetragen.
q(s)

A

A

ds

s

sR

FR

a
Bild 3.13. Zur Bestimmung der resultierenden Kraft der Streckenlast

Die statisch äquivalente Einzelkraft der Streckenlast ergibt sich als resultierende Kraft der Streckenlast. Der Betrag der resultierenden Kraft FR der
Streckenlast wird analog zu (2.8), allerdings mit Ersatz der endlichen Summe
durch ein bestimmtes Integral, ermittelt
a
FR =

q(s)ds .
0

(3.1)

48

3. Ebene Tragwerke

Der Wert FR entspricht der Fläche unter der Kurve q(s) im Intervall
0 ≤ s ≤ a.
Die Lage der Wirkungslinie von FR folgt gemäß (2.9) aus der Äquivalenz der
Momente bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes, z.B. A, und für beliebigen Zählsinn
a
FR sR =

q(s)sds .

(3.2)

0

Dabei wurde statt der endlichen Summe von (2.9) in (3.2) das bestimmte
Integral als unendliche Summe der elementaren Momente q(s)sds der elementaren Kräfte q(s)ds mit dem Abstand s bezüglich A benutzt.
Die mit (3.1), (3.2) berechnete Lagekoordinate sR der Wirkungslinie von FR
1
sR =
FR

a
q(s)sds

(3.3)

0

stellt gleichzeitig die horizontale Schwerpunktkoordinate der Fläche unter
q(s) über dem Intervall 0 ≤ s ≤ a dar. Dieser Sachverhalt wird in Kapitel 9
bei der Schwerpunktberechnung wieder aufgegriffen.
Für die allgemeine Funktion q(s) existieren zwei wichtige Sonderfälle.
Die konstante Streckenlast q(s) = q0 (Bild 3.14) ergibt mit der Auswertung
von (3.1) und (3.3) bzw. aus der symmetrischen Rechteckfläche im linken Teil
von Bild 3.14 das Ergebnis FR = q0 a mit der im rechten Teil von Bild 3.14
eingezeichneten Lage von FR .
q0

a/2

a

FR
Bild 3.14. Konstante Streckenlast q0 und ihre resultierende Kraft FR

Die linear verteilte Streckenlast q(s) (Bild 3.15) ist zunächst hinsichtlich ihrer
Funktion festzulegen.
q(s)

q0

sR

s

FR

a
Bild 3.15. Linear verteilte Streckenlast und ihre resultierende Kraft FR

3.5

Streckenlasten

49

Aus dem Strahlensatz folgt
q(s) =

q0
s
a

und mit (3.1)
a
FR =
0

q0
q0 a2
1
s ds =
= q0 a
a
a 2
2

(3.4)

2
q0 2
2 q0 a3
s ds =
= a,
a
q0 a a 3
3

(3.5)

bzw. mit (3.3)
1
sR =
FR

a
0

d.h. eine der bekannten Schwerpunktkoordinaten des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Verwendung äquivalenter Einzelkräfte für die Berechnung von Lagerreaktionen wird im Folgenden demonstriert.
Beispiel 3.5
Ein eingespannter abgewinkelter Balken unterliegt einer linear verteilten
Streckenquerbelastung (Bild 3.16). Gesucht sind die Lagerreaktionen.
a

q0

FBh

B

a

MB

a/3
q 0 a/2

FBv

Bild 3.16. Statisch äquivalente Einzelkraft für die Lagerreaktionsbestimmung

Lösung:
Nach dem Freimachen (die geschlossene Schnittlinie wird in übersichtlichen
Situationen nicht mehr eingezeichnet) und dem Eintragen der statisch äquivalenten Einzelkraft ergibt sich
→:
↑:


B:

1
FBh − q0 a = 0 ,
2
FBv = 0 ,
1
a
−MB − q0 a = 0 ,
2
3

FBh =

1
q0 a ,
2

1
MB = − q0 a2 .
6


Im weiteren Fall einer in Stabachsenrichtung orientierten Linienkraft-

50

3. Ebene Tragwerke

dichte gilt (3.1) sinngemäß, wobei die Wirkungslinie der Resultierenden mit
der Stabachse zusammenfällt.
Beispiel 3.6
Ein im Lager B aufgehängter Stab mit der Länge l, der Querschnittsfläche
A und der homogen verteilten Volumenmassendichte ρ unterliegt seinem
Eigengewicht infolge der Erdbeschleunigung g (Bild 3.17). Gesucht ist die
Lagerkraft.
B

l

FB

q l =A½g=konst.

A

FR=qll

Bild 3.17. Stab unter gleichmäßig verteiltem Eigengewicht

Lösung:
Aus dem vertikalen Kräftegleichgewicht ergibt sich
↑:

FB − ql l = 0 ,

FB = ql l = Alρg .

Wäre die Querschnittsfläche des Stabes von Bild 3.17 in Achsrichtung veränderlich, müsste ein Integral der Form (3.1) ausgewertet werden.
Für die Berechnung der Lagerreaktion ist wie bisher die Lage des Angriffspunktes von FR auf der Wirkungslinie, die hier mit der Stabachse
zusammenfällt, bedeutungslos.

Liegt eine Linienmomentendichteverteilung vor, muss zur Berechnung des
statisch äquivalenten resultierenden Momentes für die Ermittlung der
Lagerreaktionen nur wieder ein Integral der Form (3.1) ausgewertet werden.
Beispiel 3.7
Ein gestützter Balken der Länge l ist durch eine linear verteilte Linienmomentendichte m(s) belastet (Bild 3.18). Man berechne das resultierende
Moment MR der Linienmomentendichtverteilung und die Lagerreaktionen.
Lösung:
Aus dem Strahlensatz ergibt sich die funktionelle Abhängigkeit der Momentendichte von der Balkenkoordinate
m0
s.
m(s) =
l

3.5

Streckenlasten

51
m0

m(s)

C

B

s

MR
FBh
FC

FBv

l
Bild 3.18. Balken unter linear verteilter Momentenbelastung

Das resultierende Moment MR ist
l
MR =
0

m0
m(s)ds =
l

l
s ds =
0

1
m0 l .
2

Die Gleichgewichtsbedingungen liefern
→:


B:


C:

FBh = 0 ,
MR + FC l = 0 ,
−FBv l + MR = 0 ,

1
MR
= − m0 ,
l
2
1
MR
= m0 .
=
l
2

FC = −
FBv

Die Kontrollgleichung
↑:
ist erfüllt.

FBv + FC = 0


Kapitel 4
Schnittreaktionen des Balkens in der
ebenen Statik

4

4
4.1
4.2
4.3

4

4.4
4.5

Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik
Definition der Schnittreaktionen ..............................
Berechnung der Schnittreaktionen............................
Beziehungen zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment .........................................................
Beispiele ...........................................................
Schnittreaktionen gekrümmter Balken .......................

55
56
60
61
67

4 Schnittreaktionen des Balkens in der
ebenen Statik
Die bisher berechneten Lagerreaktionen geben die Wirkung der Umgebung
auf das Tragwerk mittels der Lagerbindungen wieder. Sie wurden nach dem
Freimachen des gesamten Tragwerkes aus dem Gleichgewicht mit den eingeprägten Lasten (beide auch als äußere Lasten bezeichnet) am gesamten
Tragwerk bestimmt.
Schnittreaktionen (auch innere Lasten) beschreiben die wechselseitige Wirkung von Teilen des Tragwerkes aufeinander. Ein geschlossener Schnitt durch
das freigemachte Tragwerk wird so geführt, dass zwei Teile entstehen. Liegen
die Lagerreaktionen nach Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen für das
gesamte Tragwerk bereits vor, so liefert die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen an einem der beiden Teile die Schnittreaktionen an der Schnittstelle zwischen den beiden Teilen. Sonst muss im Allgemeinen die Erfüllung
der Gleichgewichtsbedingungen an beiden Teilen oder am gesamten Tragwerk
und einem der beiden Teile gefordert werden. Die Kenntnis der Schnittreaktionen an jeder Stelle des Tragwerkes ist eine unverzichtbare Voraussetzung
für dessen funktions- und sicherheitsgerechte Dimensionierung.
Im Folgenden werden zunächst die Schnittreaktionen des geraden Balkens in
der ebenen Statik behandelt.

4.1 Definition der Schnittreaktionen
Wir untersuchen das Beispiel eines gestützten Balkens unter der Wirkung
einer schräg angreifenden Kraft (Bild 4.1).
Nach Lösen des gesamten Balkens von der Umgebung mittels des Schnittes
1j und Eintragen der Lagerreaktionen zerlegt ein zweiter Schnitt 2j den
gesamten Balken in zwei Teile. An der Schnittstelle s sind gemäß dem letzten Absatz von Abschnitt 2.2.3 paarweise die entgegengesetzt gleich großen
Schnittreaktionen (Einzelkräfte und -momente) eingetragen worden, die der
linke Balkenteil über die Schnittstelle hinweg auf den rechten Balkenteil (oder
umgekehrt) ausüben kann. Es ergeben sich mit zweckmäßiger Zerlegung der
resultierenden Schnittkraft und willkürlich gewählter Definition jeweiliger positiver Orientierungen:
- die Längskraft FL (s) in Balkenachsrichtung vom Schnittufer weg nach außen,
- die Querkraft FQ (s) senkrecht zur Balkenachse, am linken Balkenteil nach
unten,

4.1

56

4. Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik
a

a

1

F
®

B

Schnitt

C

: Gesamter Balken

1

F

F2

FBh
FBv
Schnitt

®
F1

FC

2

F

: Teile des Balkens

2

Mb
FBh

FQ

Mb

FL

FL

F
FQ

FC

FBv

s
Bild 4.1. Zur Definition der Schnittreaktionen

- und das Biegemoment Mb (s) senkrecht zur betrachteten Ebene, am linken
Balkenteil entgegen dem Uhrzeigersinn zeigend.
Alle drei Schnittreaktionen (auch Schnittgrößen) hängen von der Ortskoordinate s ab. Für diese Koordinate müssen abschnittweise Bereiche (genauer
Definitionsbereiche) so gewählt werden, dass sie den gesamten Balken ohne Überlappung vollständig überdecken, ohne dass innerhalb jedes einzelnen
Bereiches Unstetigkeiten in Belastung, Lagerung oder Geometrie die analytische Darstellung der Schnittreaktionsfunktionen stören. Im vorliegenden
Beispiel wären also zwei Bereiche 0 ≤ s < a und a < s ≤ 2a erforderlich
(die Gleichheitszeichen wurden zwecks Vermeidung von Nichteindeutigkeiten an der Krafteinleitungsstelle weggelassen). Statt einer durchlaufenden
Koordinate mit einem Ursprung können für jeden Bereich auch individuelle Koordinaten mit eigenem Ursprung an einer Bereichsgrenze und eigener
Orientierung benutzt werden, wie später demonstriert wird. Andere Beispiele
last-, lagerungs- oder geometriebedingter Bereichseinteilungen zeigt Bild 4.2.
1

1

2

3

1

2

2

Bild 4.2. Bereichseinteilungen für die Schnittgrößenberechnung

4.2

Berechnung der Schnittreaktionen

57

4.2

4.2 Berechnung der Schnittreaktionen
Wir betrachten weiter das Beispiel von Bild 4.1. Die Zerlegung der eingeprägten Kraft F ergibt
F1 = F cos α ,

F2 = F sin α
1j

und das Gleichgewicht am gesamten Balken gemäß Schnitt
→:

FBh − F1 = 0 ,



FC 2a − F2 a = 0 ,

B:


−FBv 2a + F2 a = 0 ,

C:

FBh = F1 ,
1
FC = F2 ,
2
1
FBv = F2 .
2

Wie schon bemerkt, sind für die Berechnung der Schnittreaktionen im vorliegenden Beispiel zwei Bereiche erforderlich, durch die entsprechende Schnitte
(jetzt neu nummeriert mit 1jund 2j, zu jedem Schnitt nur eine Schnittlinie
eingezeichnet) gelegt werden (Bild 4.3).
F2

F1

1

F1

F2/2

F2/2

2

Bild 4.3. Schnittführung zur Bereichseinteilung

Im Bild 4.3 wurden auch die berechneten Lagerreaktionen eingetragen. Mit
der Verfügbarkeit dieser Größen können für jeden Schnitt beide erzeugten
Balkenteile gleichberechtigt zur Ermittlung der Schnittreaktionen herangezogen werden. Dies wird für den Bereich 1 des Schnittes 1jüberprüft. In Bild
4.4 sind für den Bereich 1 der linke Balkenteil zur Schnittgrößenberechnung
und der rechte Balkenteil zur Kontrolle der obigen Behauptung angegeben.
Bereich 1
FQ1

F1
F2/2

s1

Kontrollanordnung

FL 1
Mb1

FL1
M b1

F2

FQ1
a-s 1

F1
a

F2/2

0£ s1< a

Bild 4.4. Bereich 1 mit linkem Balkenteil und verbleibendem Balkenteil zur Kontrolle

Die zur Berechnung im Bereich 1 benutzte Koordinate s1 wurde mit dem
Bereichsindex 1 versehen und wegen der unstetigen Lasteinleitung in Balkenmitte auf die Gültigkeit im halboffenen Intervall 0 ≤ s1 < a beschränkt.

58

4. Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik

Die Gleichgewichtsbedingungen für den linken und rechten Balkenteil liefern:
links
→:

FL1 = −F1 ,
F2
,
FQ1 =
2
F2
s1 ,
Mb1 =
2

F1 + FL1 = 0 ,
F2
− FQ1 = 0 ,
2
F2
s1 = 0 ,
Mb1 −
2

↑:


×:
rechts
←:

FL1 + F1 = 0 ,
F2
FQ1 − F2 +
=0,
2

↑:


×:

−Mb1 − F2 (a − s1 ) +

F2
(2a − s1 ) = 0 ,
2

FL1 = −F1 ,
F2
FQ1 =
,
2
F2
s1 .
Mb1 =
2

Die Momentenbedingungen wurden vernünftigerweise für die mit einem
Kreuz × bezeichnete Schnittstelle im Bereich 1 als Bezugspunkt aufgestellt,
damit von vornherein die unbekannten Schnittkräfte außerhalb dieser Bedingungen bleiben und damit eine explizite Gleichung zur Berechnung des
unbekannten Schnittmoments Mb1 entsteht. Wie erwartet, führen beide Wege zum gleichen Ergebnis.
Für den Bereich 2 gemäß Schnitt 2j wurde eine Koordinate s2 mit dem
Ursprung an der Krafteinleitungsstelle gewählt (Bild 4.5).
Bereich 2

F2

F1
F2/2

a

M b2

F1
s2

FL2
FQ2

0 < s 2 £a

Bild 4.5. Schnittgrößen im Bereich 2

Die Gleichgewichtsbedingungen am linken Balkenteil und die dazugehörigen
Ergebnisse für die Schnittgrößen lauten:
→:
↑:


×:

FL2 = 0 ,
F1 − F1 + FL2 = 0 ,
F2
F2
− F2 − FQ2 = 0 ,
,
FQ2 = −
2
2
F2
F2
(a + s2 ) + F2 s2 = 0 , Mb2 =
(a − s2 ) .
Mb2 −
2
2

Der Leser überzeuge sich davon, dass die Gleichgewichtsbedingungen am
rechten Balkenteil etwas einfacher ausfallen.

4.2

Berechnung der Schnittreaktionen

59

Zum besseren Verständnis werden die analytisch berechneten Funktionen für
die Schnittgrößen grafisch über der Balkenachse aufgetragen. Die entstehenden Kurvenzüge heißen in der Baustatik auch Zustandslinien. Die Auftragungsrichtung wird positiv nach unten gewählt (Bild 4.6). Dann entstehen
in der grafischen Darstellung des Biegemomentenverlaufes positive Werte auf
der Zugseite des Balkens, d.h. auf der durch +“ gekennzeichneten Seite,
”
die bei einer gedachten Krümmung des Balkens infolge Biegeverformung gedehnt wird. Der negative Wert der Längskraft wurde durch das Symbol -j
hervorgehoben.
-

F1

FL

F2/2
FQ

F2/2

Mb
Mb

F2a/2

+

Mb

Ä Mb
Auftragungsrichtung fur

Bild 4.6. Grafische Darstellung der Schnittgrößenverläufe

Die Funktionsverläufe in Bild 4.6 ergeben sich durch punktweises Einsetzen
der variablen Koordinaten s1 , s2 in die analytischen Funktionsausdrücke für
FL , FQ und Mb in den beiden Bereiche. Sie spiegeln aber auch anschaulich die eingeprägten Lasten und die Lagerreaktionen wider. So entsteht der
Längskraftsprung um F1 in Bild 4.6 infolge der horizontalen Krafteinleitung
in Balkenmitte nach Bild 4.5. Die Querkraft F2 /2 im linken und rechten
Balkenteil entspricht den jeweiligen vertikalen Lagerreaktionen. Der Querkraftsprung von F2 = 2 · F2 /2 in Balkenmitte ergibt sich infolge der dort
eingeleiteten Kraft F2 . Der Biegemomentenverlauf beginnt am linken sowie
am rechten Balkenende jeweils mit null, da sich dort reibungsfreie Gelenke
befinden, und ändert sich in jedem Bereich gemäß den Momentengleichungen
linear. Er darf in der Mitte keinen Sprung besitzen, da dort kein Einzelmoment eingeleitet wird. Das gemeinsame Auftreten des Momentenmaximums
und des Querkraftnulldurchganges an derselben Stelle des geraden Balkens
hat eine systematische Ursache, die vor der Behandlung von weiteren Beispielen aufzuklären ist.
Zusammenfassend seien die zweckmäßigen Schritte bei der Berechnung der
Schnittgrößen des Balkens aufgezählt:
a) Freischneiden des gesamten Balkens, Berechnung der Lagerreaktionen,
b) Einteilung des Balkens in Bereiche,

60

4. Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik

c) bereichsgemäßes Freischneiden der Balkenteile, geschickte Koordinatenwahl zur Verringerung des Aufwandes,
d) Berechnung der Schnittreaktionen, grafische Auftragung derselben,
e) Kontrolle des Ergebnisses.

4.3

4.3 Beziehungen zwischen Streckenlast, Querkraft und
Biegemoment
In die angekündigte Aufklärung des Zusammenhangs zwischen Querkraft und
Biegemoment beim geraden Balken wird die zur Balkenachse quer angreifende Streckenlast q(s) mit einbezogen (Bild 4.7). Die beiden Schnittgrößen und
die Streckenlast sind über die Gleichgewichtsbedingungen miteinander verknüpft. Dies wird im Folgenden gezeigt.
q(s)

q

q+dq

M b +dM b

Mb

s

ds

P
FQ
s

FQ+dF Q

ds

Bild 4.7. Balken und Balkenelement mit Streckenlast

Die an dem Balkenelement der Länge ds (in Bild 4.7 rechts vergrößert dargestellt) angreifende Streckenlast, ihr Differential, die Schnittgrößen und ihre
Differentiale hängen von der Koordinate s ab.
Die Gleichgewichtsbedingungen am Balkenelement lauten
↑:

FQ − qds − FQ − dFQ = 0

bzw.
dFQ
+q =0
ds

(4.1)

und


P:

−Mb − qds

1
ds − (FQ + dFQ ) ds + Mb + dMb = 0
2

bzw.
dMb
1
− FQ − dFQ − qds = 0 .
ds
2

(4.2)

4.4

Beispiele

61

In beiden Gleichgewichtsbedingungen wurde der schraffierte Anteil der Streckenlast (s. Bild 4.7) nicht berücksichtigt. Er geht bei dem in den Differentialen schon enthaltenen Grenzübergang genauso wie die in (4.2) auftretenden
Größen dFQ und qds im Vergleich zu den endlichen Termen exakt gegen null
(es wird hier also nicht, wie manchmal unscharf ausgesprochen, eine Vernachlässigung getroffen). Das Ergebnis von (4.1), (4.2) ist deshalb
dFQ
= −q ,
ds

(4.3)

dMb
= FQ .
ds

(4.4)

Zu den Vorzeichen von (4.3), (4.4) gehört zwingend die Koordinatenfestlegung von Bild 4.7. Eine gegenläufige Koordinatenorientierung führt zum
Vorzeichenwechsel in (4.3), (4.4).
Die Differentiation von (4.4) liefert mit (4.3) noch
d2 Mb
= −q .
ds2

(4.5)

Andererseits können aus der Streckenlast mittels (4.3), (4.4) durch Integration die Schnittgrößen FQ und Mb bestimmt werden. Zur Festlegung der
dabei auftretenden Integrationskonstanten sind dann noch zu formulierende
Randbedingungen auszuwerten.
Der Zusammenhang (4.4) zwischen Biegemoment und Querkraft ermöglicht
eine der in Abschnitt 4.2 genannten Ergebniskontrollen, wenn diese Größen
vorher aus den entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen bestimmt wurden.

4.4 Beispiele
Im Folgenden werden einige typische Beispiele für die Berechnung der
Schnittreaktionen in geraden Balken behandelt.
Beispiel 4.1
Gegeben ist ein gestützter Balken der Länge l, belastet durch eine quer
angreifende konstante Streckenlast q (Bild 4.8). Gesucht sind die Schnittreaktionen.

4.4

62

4. Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik
1

q
C

B
l

q

q

FC

FBv

Mb

FBh
2

FBv

s

FQ

FL

Bild 4.8. Gestützter Balken mit konstanter Streckenlast

Lösung:
Nach Anwendung des Schnittes
→:


B:


C:

1jwerden

FBh
FC l − q

die Lagerreaktionen bestimmt.

=

0,

=

0,

=

0,

2

l
2

−FBv l + q

l2
2

1
ql ,
2
1
= ql .
2

FC =
FBv

Die vertikalen Lagerreaktionen erfüllen die vorliegende Symmetrie.
Die Schnittgrößenberechnung benötigt nur einen Bereich. Nach Anwendung
von Schnitt 2j ergeben sich die Schnittreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen am linken Balkenteil mit FBh = 0 und 0 ≤ s ≤ l
→:
↑:


×:

FL = 0 ,
FBv − qs − FQ = 0 ,
Mb − FBv s + qs

FQ =

1
ql − qs ,
2

s
1
= 0 , Mb = q(ls − s2 ) .
2
2

Bild 4.9 zeigt die grafische Darstellung der Schnittgrößen.
ql/2

s

ql/2
FQ

Mb

s
2

ql /8
Bild 4.9. Schnittgrößen des Balkens mit konstanter Streckenlast

4.4

Beispiele

63

Das für spätere Überlegungen wichtige Biegemomentenmaximum Mb max
folgt aus
dMb
1
= ql − qs = 0
ds
2
mit der Koordinate s0 = l/2
Mb max = Mb (s0 ) =

1 2
ql
8

und liegt erwartungsgemäß an der Nullstelle der Querkraft.
Der lineare Verlauf von FQ und der quadratische von Mb entsprechen den
Gleichungen (4.3) - (4.5). Die Randwerte von FQ geben die vertikalen
Lagerreaktionen wieder, die Randwerte von Mb die Reibungsfreiheit der
Gelenke in den Lagern.

Beispiel 4.2
Ein eingespannter verzweigter Balken besteht aus geraden Balkenstücken
und ist durch zwei Einzelkräfte F1 = F , F2 = 2F sowie durch eine konstante
Streckenlast q0 = 4F/a belastet (Bild 4.10a). Gesucht sind die Schnittgrößen
und das betragsmäßig größte Biegemoment |Mb |max .
FBv
MB
B

a

F2

F1

s3
F2

q0
a

FBh

q0

F1

a

s2

s1

b)

a)

FBv
MB

FBh
s3

F1

F2

s1

c)
Bild 4.10.

Mb1
FQ1

FL2

Mb2

FL1
FQ2

q0
s2

FQ3

Mb3
FL3

Verzweigter Balken mit Einspannung a), freigemacht mit Bereichseinteilung b)

und Schnitten in den Bereichen c)

Lösung:
Im vorliegenden Fall werden die Lagerreaktionen nicht zur Bestimmung der
Schnittreaktionen, die alle mittels frei endender Balkenteile berechenbar sind,

64

4. Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik

benötigt. Sie sollen trotzdem ermittelt werden und am Ende der Rechnung
in eine Kontrolle eingehen.
Die Bilder 4.10b, c zeigen den freigemachten gesamten Balken und die notwendige Einteilung in drei Bereiche, diesmal ohne Einzeichnung der Schnittlinien. Die Vorzeichendefinition der Schnittgrößen im vertikalen Balkenteil
wurde willkürlich so gewählt, dass sie der horizontalen Anordnung des zweiten Bereiches nach Drehung des vertikalen Balkenteiles um 90◦ im Uhrzeigersinn entspricht.
Das Gleichgewicht am gesamten Balken liefert:
→:
↑:


B:

F1 + FBh

= 0 , FBh = −F1 = −F ,

F2 + FBv − q0 a

=0,

1
MB − F2 a + F1 a − aq0 a = 0 ,
2

FBv = q0 a − F2 = 2F ,


1
MB = F2 − F1 + q0 a a = 3F a .
2

Aus den Gleichgewichtsbedingungen für die drei Bereiche ergibt sich:
→:

FL1 + F1

=0,

FL1 = −F1 = −F ,

↑:

F2 − FQ1

=0,

FQ1 = F2 = 2F ,

×:

Mb1 − F2 s1

=0,

Mb1 = F2 s1 = 2F s1 ,

←:

FL2

=0,

FQ2 − q0 s2

=0,

FQ2 = q0 s2 =

=0,

Mb2



↑:


s2
2

4F
s2 ,
a
1
2F 2
= − q0 s22 = −
s ,
2
a 2

×:

−Mb2 − q0 s2

↓:

FL3 − FBv

=0,

FL3 = FBv = 2F ,

←:

FQ3 − FBh

=0,

FQ3 = FBh = −F ,



×:

−Mb3 + MB − FBh s3 = 0 ,

Mb3 = MB − FBh s3 = 3F a + F s3 .

In der grafischen Darstellung der Schnittgrößen (Bild 4.11) wurden positive
Werte für den vertikalen Balkenteil gemäß der oben erklär